Урок алгебры в 8 классе Решение задач с помощью дробно-рациональных уравнений

Конспект урока по Алгебре

Наша кнопка

Скачать материал

Прокопова Екатерина Сергеевна МБОУ «Курасовская основная общеобразовательная школа»

Конспект урока разработан учителем математики

МБОУ «Курасовская основная общеобразовательная школа»

Курского района Курской области

Прокоповой Е.С.

Тема урока:Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений.

Цели и задачиурока:

Образовательные:

• закрепление понятия дробного рационального уравнения;
• продолжить формирование умений решать дробные рациональные уравнения;
• совершенствовать навык составления уравнения по условию задачи, уметь проверять соответствие найденного решения условиям задачи;
• сформировать умение решать задачи прикладного характера с помощью дробных рациональных уравнений.

Развивающие:

• развитие памяти обучающихся;
• развитие умений преодолевать трудности при решении математических задач;
• развитие любознательности;
• развитие логического мышления, внимания, умений анализировать, сравнивать и делать выводы;
• развивать интерес к предмету.

Воспитательные:

• формирование таких качеств личности, как ответственность, организованность, дисциплинированность, порядочность, правдивость;
• содействовать формированию системы знаний, представлений, понятий;
• воспитание познавательного интереса к предмету;
• воспитание самостоятельности при решении учебных задач;
• воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

Тип урока: изучение нового материала.

Форма проведения: урок-практикум.

Форма организации учебно-познавательной деятельности: коллективная.

Оборудование урока: ПК, проектор, файл MS Excel, содержащий тестовые задания, презентация.

План урока:

1. Организационный момент;

2. Актуализация опорных знаний;

3. Этап изучения нового материала;

4. Физкультминутка;

5. Решение задач на закрепление пройденной темы;

6.Подведение итогов, рефлексия, Д/З.

Ход урока:

1. (Подготовка обучающихся к восприятию учебного материала) Приветствие, ориентация класса на работу, изложение плана работы на уроке.

Здравствуйте, ребята. Ещё начиная с начальной школы, вы учились решать задачи. Для этого с каждым годом вы обучались всё новым и новым методам и способам решения. Сегодня мы познакомимся с задачами, решение которых сводится к дробным рациональным уравнениям.

1. Эпиграфом нашего урока я взяла слова Генри Форда « Залогом успехаявляется, в первую очередь, хорошая подготовка»; они имеют отношение не только к предпринимательской деятельности, но и к учебной, в том числе и к изучению математики. Для того чтобы успешно решать задачи с помощью дробных рациональных уравнений, необходимо хорошо знать теорию решения этих самых уравнений. Поэтому повторим необходимые в дальнейшем понятия и формулы.

-Какие уравнения называются дробными рациональными?

-Алгоритм решения дробных рациональных уравнений:

1. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.

2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель.3.Решить получившееся уравнение.4. Исключить проверкой из корней уравнения те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

(Проведение самостоятельной тестовой работы)

1.Среди данных уравнений выберите то, которое не является дробным рациональным:

1) ;

2)

3) .

(3)

2.При каких значениях переменной х уравнение не имеет смысла:

1) -2;

2) -2 и -1;

3) всегда имеет смысл.

(-2)

3.Сколько корней имеет уравнение 1) 1 корень;2) не имеет корней;3) 2 корня. (не имеет корней)4. Найти корни уравнения 1) х=-⅓;2) х=⅓ или х=-3;3) х=-⅓ или х=3.(x=-)5.Укажите общий знаменатель:1) х-3; 2) х(х-3); 3) (5х-7)(4х-3).(х(х-3))

Учитель: Проверьте свой результат (на экран выводится таблица с правильными ответами). Если работа выполняется в программе MS Excel, то компьютер сам ставит оценку ученику.

Давайте сверим ответы с ответами на доске. На листочках ставим «+» или «-», в зависимости от правильности выполнения. Поставьте себе оценки:

все сделано правильно – «5»;

одна ошибка – «4»;

сделано две ошибки — «3»;

выполнено менее 3-х заданий – «2».

Давайте сделаем вывод: итак, вы научились решать дробные рациональные уравнения. Решать эти уравнения вы научились не зря, а для решения большого аппарата задач.

1. Запишите тему нашего урока «Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений». Перед нами стоит задача: совершенствовать навык составления уравнения по условию задачи и умение проверять соответствие найденного решения условиям задачи.

Рассмотрим применение дробных рациональных уравнений при решении следующей задачи (задача записана на карточках, лежащих на столах у учеников):

Катер прошёл 108 км по течению реки и 84 км против течения. Скорость течения реки 3 км/ч . Найдите собственную скорость катера, если на путь по течению он затратил то же время, что и на путь против течения реки.

Для начала, давайте вспомним основные этапы решения задачи на составление уравнения. Нам известны три этапа. Какие это этапы?

Ученик: 1. Анализ условия, составление математической модели.

2. Работа с моделью.

3. Запись ответа.

Возвращаемся к нашей задаче.

Будем решать с помощью уравнения.

Обратите внимание на следующую таблицу (таблица выводится на экран. Слайд №5).

Обучающиеся постепенно заполняют таблицу, пользуясь знаниями из курса математики.

скорость

путь

время

V= S/ tS= V tt= S/ V

Теперь давайте дадим полное пояснение нашим действиям (записывают в тетрадь):

Пусть x км/ч – собственная скорость катера.

Тогда (x+3)км/ч – скорость катера по течению, (x-3)км/ч – скорость катера против течения, 108/(х+3) ч — время движения катера по течению, 84/(х-3)ч — время движения против течения. Зная, что время движения по течению равно времени движения против течения, составим и решим уравнение: (слайд №6)

Решение:

108(х-3) = 84(х+3)

108х — 324 = 84х + 252

108х — 84х = 252+324

24х = 576

х = 24

ОДЗ: (х+3)(х-3) ≠ 0

х ≠ -3 и х ≠3

х = 24 (км/ч) – собственная скорость катера

Ответ: 24 км/ч.

4.ФИЗКУЛЬТМИНУТКА (видео)

Исходное положение-стойка ноги врозь. На счёт «раз» — руки отводятся назад. На счёт «два» — руки развести в стороны, на счёт «три» — поднять руки вверх, стать на носки. На счёт «четыре» — расслабляя плечевой пояс, руки опустить с небольшим наклоном вперёд. Повторить 4-6 раз в медленном темпе.

5.Решение задач.

Самостоятельное решение задачи с последующей записью решения на доске.

Задача 2.

Числитель обыкновенной дроби на 7 меньше ее знаменателя. Если числитель этой дроби увеличить на 1, а знаменатель уменьшить на 4, то дробь увеличится на 1/3. Найти данную дробь.

Ответ: 12/19.

А теперь мне хочется показать вам пример решения задачи прикладного характера (демонстрация с помощью презентации) – задача на совместную работу (слайды 8-9).

Задача 3.

Две бригады, работая вместе, вспахали поле за 8 ч. За какое время может вспахать поле каждая бригада, работая самостоятельно, если второй бригаде на это необходимо на 12 ч больше, чем первой?

Решение:

Пусть x ч – время выполнения работы 1-ой бригадой.

Тогда (x+12)ч – время выполнения работы 2-ой

бригадой,

— производительность 1- ой бригады,

— производительность 2-ой бригады.

Зная, что совместная производительность бригад 1/8, составим и решим уравнение:

х1=12, х2 =-8 (не удовлетворяет условию задачи)

12ч – время работы 1 бригады, (12+12)=24(ч) – время работы 2 бригады.

Ответ: 12ч, 24ч.

6. Итак, в нашем распоряжении несколько минут, поэтому давайте подведем итоги.

Вы, наверное, обратили внимание, что были решены задачи разного характера, и решение каждый раз сводилось к решению дробных рациональных уравнений.

На ваших столах лежат «Листы самооценки». Заполните их.

А закончить наш урок хотелось бы словами великого ученого А.Эйнштейна: «Мне приходится делить свое время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее, потому что политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».

Для дальнейшего совершенствования навыка составления уравнений по условию задачи в качестве домашнего задания предлагаю вам решить следующую задачу:

Расстояние между двумя селами, равное 120 км, один мотоциклист проезжает на 30 мин быстрее, чем второй. Найти скорость каждого мотоциклиста, если известно, что скорость второго на 20 км/ч меньше скорости первого.

Решение:

Пусть х км/ч  – скорость второго мотоциклиста, тогда (х+20) км/ч– скорость первого, 120/х ч – время движения второго мотоциклиста, 120/(х+20) ч – время движения первого мотоциклиста. Зная, что первый мотоциклист проезжает на 30 мин быстрее, чем второй, и 30 мин = ½ ч, составим и решим уравнение:

Решение:

120*2х – 120*2(х-20)=х(х-20)

240х-240х+4800=х2 -20х

х2-20х-4800=0

D=19600

х1=80, х2 =-60

ОДЗ: 2х(х-20) ≠0

х≠0 и х≠20

Корень уравнения -60 не удовлетворяет условию задачи.

80км/ч – скорость второго мотоциклиста.

80+20=100 (км/ч) – скорость первого мотоциклиста.

Ответ: 80км/ч, 100км/ч.

Задача 1.

Катер прошёл 108 км по течению реки и 84 км против течения. Скорость течения реки 3 км/ч . Найдите собственную скорость катера, если на путь по течению он затратил то же время, что и на путь против течения реки.

___________________________________________________________________________

Задача 2.

Числитель обыкновенной дроби на 7 меньше ее знаменателя. Если числитель этой дроби увеличить на 1, а знаменатель уменьшить на 4, то дробь увеличится на 1/3. Найти данную дробь.

____________________________________________________________________________

Задача 3.

Две бригады, работая вместе, вспахали поле за 8 ч. За какое время может вспахать поле каждая бригада, работая самостоятельно, если второй бригаде на это необходимо на 12 ч больше, чем первой?

__________________________________________________________________________

Домашнее задание

Расстояние между двумя селами, равное 120 км, один мотоциклист проезжает на 30 мин быстрее, чем второй. Найти скорость каждого мотоциклиста, если известно, что скорость второго на 20 км/ч меньше скорости первого.

Листать вверх Листать вниз Скачивание материала начнется через 51 сек.

Ещё документы из категории алгебра:



Источник: https://doc4web.ru/algebra/konspekt-uroka-po-algebre-reshenie-zadach-s-pomoschyu-drobnih-ra.html

Урок алгебры в 8-м классе по теме Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений

27.04.2017

• Башилова Наталья Алексеевна, учитель математики

Цели урока:

1) образовательная:

1. проконтролировать степень усвоения следующих основных знаний: умения составлять правила уравнения по тексту и решать полученные уравнения согласно данному алгоритму.
2. формирование навыков решения задач и уравнений.

2) воспитательная: развитие работоспособности, воспитание основных мировоззренческих идей: причинно – следственных явлений, познаваемости мира.

3) развивающая: умение выделить главное, умение сравнивать, обобщать изучаемые понятия. Развитие самостоятельности, речи учащихся, умение преодолевать трудности.

План урока.

1. Фронтальный опрос по теме.
2. Игра.
3. Решение трех типов задач.
4. Сообщение учащихся. Как извлечь корень квадратный из числа, не прибегая к таблице.
5. Самостоятельная работа.
6. Информация о домашнем задании.

1. Фронтальный опрос по теме

1. Рассказать алгоритм решения дробного рационального уравнения.
2. Что называют дискриминантом квадратного уравнения?
3. Назвать формулу корней квадратного уравнения.

4. Назвать формулу дискриминанта квадратного уравнения, в которой второй коэффициент является четным числом.
5. Назвать формулу корней квадратного уравнения, в котором второй коэффициент является четным числом.

6. Сформулировать теорему Виета.
7. Сформулировать теорему, обратную теореме Виета.

2. Игра

Ответьте на вопросы, и вы узнаете имя великого древнегреческого математика, который ввел впервые буквенную символику в алгебру.

1. Какое уравнение можно решать излечением квадратного корня?
2. Какое уравнение можно решать вынесением общего множителя?
3. Какое уравнение можно решать, представив левую часть в виде квадрата двучлена?
4. Какое уравнение можно решать, применяя общую формулу корней?
5. Какое уравнение можно решать, используя формулу корней для четного второго коэффициента?
6. Какое уравнение можно решать по теореме, обратной теореме Виета?
7. Какое уравнение можно решать разложением левой части уравнения на множители, используя формулу разности квадратов?

ДИОФАНТ

Историческая справка: Диофант – единственный известный нам древнегреческий математик, который занимался алгеброй. Он решал различные уравнения, особое внимание уделял неопределенным уравнениям, теория которых называется теперь — диофантовым анализом.

3. Решение задач

Задание: Составить краткую запись условий уравнения и составить уравнение.

Задача №1.

Числитель дроби на 4 меньше знаменателя. Если числитель дроби увеличить на 19, а знаменатель на 28, то полученная дробь увеличится на  по сравнению с исходной. Найти первоначальную дробь.

Уравнение: .

Задача №2.

Катер двигался по реке. Собственная скорость катера 18км/ч. Катер прошел по течению реки 50км, а против течения 8км, затратив на весь путь 3ч. Какова скорость течения реки.

V собственная – 18км/ч.

S против течения – 8км .

S по течению – 50км.

Составим таблицу.

Пусть скорость течения реки х км/ч.

V(км\ч)	T(ч)	S(км)
По течению	18+х	50
Против течения	18-х	8

Уравнение:

Задача №3.

Две машинистки, работая совместно, могут перепечатать рукопись за 8ч. Сколько времени потребовалось бы каждой машинистке на выполнение этой работы, если одной для этого потребуется 12ч больше, чем другой?

Машинистки.	t	Производительность труда (V)	Вся работа (S)	Работа, выполненная за 8ч.
1	Х+12	1
2	х	1

Составим и решим уравнение.

;

;

;

;

.

Проверка: при х1=12 и х2= -8 (х+12)х ≠0.

-8 не удовлетворяет условию задачи, так как время не измеряется в отрицательных числах.

12ч нужно второй машинистке, чтобы выполнить работы.

1) 12+12=:24(ч) – нужно второй машинистке

Ответ: 12ч , 24ч.

4. Извлечение корня квадратного из числа.

Чтобы извлечь корень квадратный из числа, нужно его разбить справа на группы по две цифры в каждой. В нашем случае 68 и 89. Далее в результат нужно записать цифру, которая при возведение в квадрат дает наиболее близкий результат к числу 68. В нашем случае это 8, так как 82=64.

Вычтем из 68 число 64 и к остатку 4 сносим сразу 2 следующие цифры 89. Слева от полученного числа 489 приписываем вертикальную черту и с левой стороны от числа записываем удвоенный результат 8, то есть 2·8=16. Рядом с шестеркой нужно записать цифру, чтобы потом результат умножения дал ответ 489. В нашем случае это 3, так как 163 • 3=489.

Эту тройку пишем в результат рядом с 8. Итак, получилось число 83. Значит

.

Пример: 03

5. Самостоятельная работа.

В-1

1) Знаменатель дроби на 4 больше числителя. Если числитель увеличить на 2, а знаменатель на 21, то дробь уменьшится на . Найти исходную дробь.

2) Скорость течения реки 2 км/ч катер двигался по течению 40 км, а против течения 6км, затратив на весь путь 3 ч. Какова собственная скорость катера?

В-2

1) Знаменатель дроби на 3 больше числителя. Если числитель увеличить на 4, а знаменатель на 30, то дробь уменьшится на . Найти исходную дробь.

2) Скорость течения реки 3 км/ч, катер прошел по течению 30 км, а против течения 6км, затратив на весь путь 4 ч. Найти собственную скорость катера.

6. Домашняя работа

№ 682; № 677г.

Урок алгебры в 8-м классе по теме Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений Ссылка на основную публикацию

Источник: http://8.orange3.ru/2473/

Урок алгебры по теме

• Перункова Галина Александровна, учитель математики

Разделы: Математика

Предварительная подготовка:

1. СЛАЙДЫ №1,2,3,4 в памяти интерактивной доски.
2. Раздаточный материал (Задания №1, 2 из ПРИЛОЖЕНИЯ) на каждом рабочем месте учащихся.
3. Перфокарты и листочки для проверки теста.
4. Отдельное рабочее место для работы исследовательской группы.

Дидактические цели урока:

1. Совершенствовать умение решать текстовые задачи.
2. Отрабатывать навык выполнения всевозможных тестовых заданий (подготовка к ГИА).
3. Развивать математическую интуицию, активизировать познавательный интерес.
4. Привлекать более способных учащихся к исследовательской деятельности на уроках математики.

1. Организационный момент:

Постановка цели урока: Главное в обучении математики- умение решать задачи. Поэтому сегодня мы совершенствуем знания, умения и навыки по теме урока.

2. Проверим домашнее задание:

Первый ученик (сильный) решает у доски задачу 1 (решение с пояснением, полностью).

Условие задачи: Две бригады рабочих закончили ремонт участка дороги за 4 часа. Если бы сначала одна из них отремонтировала половину всего участка, а затем другая- оставшуюся часть, то весь ремонт был бы закончен за 9 часов. За сколько времени каждая бригада в отдельности могла бы отремонтировать весь участок?

Прогнозируемый результат ответа:

Время	Призводительность	V работы
Первый	?	х	1
Второй	?	1
Вместе	4	1

Связка величин: t+t=9

Уравнение:

72х-18х+1=0.  =9.  х=;  х=.

Производительность второго  или . Ответ: за 6 дней; за 12 дней.

Второй ученик (слабый) заполняет пропуски в решении задачи 2 на интерактивной доске. См. СЛАЙД 1.

Условие задачи: Члены школьного кружка натуралистов отправились на катере для сбора лекарственных трав. Проплыв вниз по течению реки 35 км, они сделали трехчасовую стоянку, после чего вернулись назад. Определите скорость катера в стоячей воде, если на все путешествие ушло 7 часов, а скорость течения реки 3 км/ч.

Прогнозируемый результат ответа:

Уравнение:

2х-35х-18=0. Д=1269. х=18; х=-.

Ответ: v=18км/ч.

«Мозговой штурм».

Остальные: Для определения маршрута каждого из вас на уроке выполняем задание №1-маленький тест с перфокартами (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 2). На выполнение которого 5 мин.

После того как тесты сданы, прослушать отвечающих у доски. Учитель проверяет ответы и распределяет задания по результатам. Правильные ответы:

. В или Г.

. Б.

. А или Б.

3. Основная часть урока:

СЛАЙД 2. Проанализируем ваш индивидуальный маршрут на уроке.

Ученики…..(назвать фамилии тех кто верно выполнил только одно задание теста) решают вместе со мной задачу, записанную на доске. Ученики……, выполнившие два задания, находят соответствующие пары на карточках с заданием №2. Индивидуальное задание получают….и работают в группе.

Раздать карточки с заданием №2 (тем кто выполнил 2 задания теста правильно) и индивидуальное задание исследовательской группе (учащиеся, выполнившие весь тест верно). См. ПРИЛОЖЕНИЕ.

Если выполнили весь тест верно достаточно много учащихся, то в исследовательскую группу отправить творчески мыслящих, другим раздать задание№2  уровень.

Рационально разложить карточки с заданиями на перемене, так как учитель знает возможности каждого учащегося, а на уроке только откорректировать раздачу карточек, если какие-то прогнозы не оправдались.

Пока основная часть учащихся выполняет задание №2, слабые вместе с вызванным учеником у доски решают задачу, подробно разбирая каждый шаг решения.

ЗАДАЧА: Два км вниз по реке и обратно лодка проплыла за 1 ч 30 мин. Какова собственная скорость лодки, если скорость течения 1 км/ч?

Решение:

Какие величины в задаче?

Сколько неизвестных в задаче?

Пусть собственная скорость лодки х км/ч

Чертеж:

Какая связка величин в условии? t+t=1,5

Составим и решим уравнение:

-3х+8х+3=0

Д=25  х=  х=.

(х+1)(х-1)0

х-1; х1.

-не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, х=3 км/ч

Ответ: собственная скорость лодки 3 км/ч.

Оценить отвечающего. Собрать рабочие тетради с выполненным заданием №2. Проверку на уроке осуществить с помощью СЛАЙДА 3, оценить письменные работы после урока.

ОТВЕТЫ:

1. Задача про токарей:

1	2	3	4	5	6
4	1	5	6	2	3
8	6,4	4	2	9	8,4

2. Древние книги:

1	2	3	4	5	6
2	3	4	6	1	5
12,5	10	2,5	5	11,25	8,4

3. Движение по реке:

1	2	3	4	5
4	5	2	1	3
1/3	5/3	1,5	1,5	20

4. Движение мотоцикла и машины:         

1	2	3	4	5	6	7
2	4	7	1	3	6	5
5	3	1	8	93	56	1

5. Движение двух мотоциклистов:

1	2	3	4	5	6
3	6	1	4	2	5
4,5	3,6	22	27	44

6. Турист и всадник:

4. Новый материал

По ходу решения задачи учитель проверяет исследовательскую группу, если требуется- корректирует, исправляет решение. См. ПРИЛОЖЕНИЕ 2.

Заранее один ученик из группы готовит ответы у доски:

-3х+8х+3=0. х=-; х=3

2х+5х+2=0. х=- х=-2

5х-26х+5=0. х=5; х=

5х+24х-5=0. х=-5; х=

Какая закономерность прослеживается в этих уравнениях?

Ученик формулирует теорему, доказывает, если позволяет время. Все учащиеся записывают формулировку в теоретическую тетрадь. СЛАЙД 4.

5. Итог урока

Вернемся к теме урока.

-Сколько раз надо читать условие задачи? (три, до запоминания)

-На какие вопросы обязательно надо ответить перед решением задачи?

(Какие величины? Сколько неизвестных? Какая связка величин в задаче?)

Отметки выставлены за каждый индивидуальный ответ. При проверке тетрадей выставить отметки с учетом результатов теста.

6. Домашнее задание:

по вариантам №7.11 из Сборника для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе. Л.В.Кузнецова и др. М: Просвещение, 2006

№7.11

1. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 8 км, одновременно вышли два лыжника. Скорость одного из них на 4 км/ч меньше скорости другого. Лыжник, который первым прибыл в В, сразу же повернул обратно и встретил другого лыжника через 45 мин после выхода из А. На каком расстоянии от пункта В произошла встреча?
2. Из пункта А в пункт В , расстояние между которыми 6 км, одновременно отправились пешеход и велосипедист. Велосипедист доехал до В, сразу же повернул обратно и встретил пешехода через 36 мин после выезда из А. Скорость велосипедиста на 10 км/ч больше скорости пешехода. На каком расстоянии от пункта А произошла встреча?

Литература:

1. Учебник по алгебре для 8 класса. Ш.А.Алимова и др. М: Просвещение, 2002.
2. Сборник для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе. Л.В.Кузнецова и др. М: Просвещение, 2006.
3. Материалы журнала «Математика в школе».

9.02.2010

Источник: https://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/563742/