Применение теорем Чевы и Менелая при решении задач ЕГЭ

Применение теорем Чевы и Менелая для решения планиметрических задач. Сравнительный анализ в эффективности применения этих теорем по сра

МОУ «Лицей №3»

Тема реферата:

Применение теорем Чевы и Менелая для решения планиметрических задач. Сравнительный анализ в эффективности применения этих теорем по сравнению с другими способами решения планиметрических задач.

Выполнил: Димитров Денис Валерьевич,

ученик 11«А» класса.

Научный руководитель: Шабунина Е.И.,

учитель математики МОУ «Лицей №3».

Коды авторов: №SC-4785 и №SC-4786.

г. Саров, 2011 год.

Оглавление.

Введение. 3

Основная часть. 4

Глава I. Теоремы Чевы и Менелая. 4

Глава II. Применение теорем Чевы и Менелая для решения планиметрических задач. Сравнительный анализ в эффективности применение этих теорем по сравнению с другими способами решения планиметрических задач. 5

I блок задач (замечательные точки треугольника). 5

II блок задач (пропорциональные отрезки). 11

III блок задач (отношение площадей). 16

Заключение. 23

Список используемой литературы. 23

Введение

В курсе геометрии седьмых, восьмых и девятых классов были рассмотрены важные и интересные свойства геометрических фигур на плоскости. Но многие удивительные соотношения и изящные геометрические факты не вошли в основной курс.

Из школьного курса нам известны теоремы о замечательных точках в треугольнике, о том, что биссектрисы (медианы, высоты) треугольника пересекаются в одной точке. А ведь эти свойства являются следствиями из теорем Чевы и Менелая.

Теорема Менелая красива и проста. В школьном курсе эта теорема затерялась где-то среди задач. Между тем она входит в золотой фонд древнегреческой математики. Эта теорема дошла до нас в арабском переводе книги «Сферика» Менелая Александрийского.

Теоремы Чевы и Менелая в школьном курсе математики изучаются лишь в классах с углубленным изучением математики. Между тем, эти теоремы позволяют легко и изящно решить целый класс задач. Многие задачи по планиметрии, предлагаемые на вступительных экзаменах в вузы, в заочные математические школы можно решить с помощью именно этих теорем.

Цель работы – изучить теоремы Чевы и Менелая и рассмотреть применение этих теорем к решению планиметрических задач.

Задачей работы стало сравнение и выявление эффективности применения теорем Чевы и Менелая по сравнению с другими способами решения планиметрических задач.

Глава I. Теоремы Чевы и Менелая [4]

Теорема Чевы. Если через вершины проведены прямые , , , пересекающие противоположные стороны (или их продолжения) в точках , , , то для того чтобы эти прямые пересекались в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (см. рис.1):

Теорема Менелая. Если на сторонах или на их продолжениях отмечены точки , , так, что лежит на , – на и – на , то эти точки будут лежать на одной прямой тогда и только тогда, когда выполнено условие (см.рис.2):

Доказательства соотношений (*) и (**), а также исторические справки о Джованни Чева и Менелае Александрийском содержатся в Приложении1

Глава II. Применение теорем Чевы и Менелая для решения планиметрических задач. Сравнительный анализ в эффективности применение этих теорем по сравнению с другими способами решения планиметрических задач [2], [5]

На примере следующих задач (задач на замечательные точки треугольника, на пропорциональные отрезки и на отношение площадей) покажем эффективность применения теорем Чевы и Менелая по сравнению с другими способами решения планиметрических задач.

I блок задач (замечательные точки треугольника)

Задача 1.

Доказать, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Дано: , – биссектрисы .

Доказать, что биссектрисы и пересекаются в одной точке – точке .

Решение.

I способ (без использования теоремы Чевы)

Докажем сначала теорему о биссектрисе угла.

ТЕОРЕМА.

Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон.

Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

Дано: , – биссектриса , – произвольная точка на биссектрисе , .

Доказать, что .

Доказательство.

Сделаем дополнительное построение: проведём перпендикуляры и к лучам и соответственно (рис. 13).
Рассмотрим прямоугольные и (, так как и ).

– общая гипотенуза;

, так как по условию – биссектриса .

Следовательно, прямоугольные по гипотенузе и острому углу.

Значит, как соответственные элементы в равных треугольниках, то есть .

Доказано.

Дано: , т. лежит во внутренней области , , , , , .

Доказать, что – биссектриса .

Доказательство.

Рассмотрим прямоугольные и (, так как и ).

– общая гипотенуза;

, так как по условию .

Следовательно, прямоугольные по гипотенузе и катету.

Значит, как соответственные элементы в равных треугольниках, и – биссектриса по определению биссектрисы угла.

Доказано.

Итак, теперь докажем следствие из этой теоремы, то есть то, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Рассмотрим произвольный . Обозначим точкой точку пересечения его биссектрис и . Биссектрисы и пересекаются, так как .

Сделаем дополнительные построения: проведём , , (рис. 14).

По доказанной теореме и ( и – биссектрисы ). Поэтому , то есть точка равноудалена от сторон и, значит, лежит на биссектрисе этого угла.

Следовательно, все три биссектрисы – – пересекаются в точке .

Доказано.

II способ (с использованием теоремы Чевы).

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону этого треугольника на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Так как по условию – биссектриса , то:

Перемножая получившиеся равенства (3), (1) и (2), получаем, что:

Отсюда по теореме Чевы, биссектрисы пересекаются в одной точке – точке .

Доказано.

Задача 2.

Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Дано: , – медианы .

Доказать, что:

медианы и пересекаются в одной точке – точке ;
.

Решение.

I способ (без использования теорем Чевы и Менелая).

Рассмотрим произвольный . Обозначим точкой точку пересечения его медиан и . Медианы и пересекаются, так как .

Сделаем дополнительное построение: проведём отрезок (рис. 16).

Так как и – медианы , то точки и являются серединами сторон и соответственно, то есть , .

Отсюда, по определению средней линии треугольника (средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон) отрезок является средней линией .

Так как средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны, то отрезок и .

как накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых и ( по доказанному) секущей ;

как накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых и ( по доказанному) секущей .

Следовательно, по двум углам, и, значит, их стороны пропорциональны.

Итак, – коэффициент подобия:

Но по доказанному ; , поэтому и , . Таким образом, точка пересечения медиан и делит каждую из них в отношении , считая от вершины.

Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан и делит каждую из них в отношении , считая от вершины, и, следовательно, совпадает с точкой .

Итак, все три медианы пересекаются в точке и делятся ею в отношении , считая от вершины.

Доказано

II способ (с использованием теорем Чевы и Менелая).

Так как по условию – медианы , то , , , поэтому:

Итак,

Отсюда по теореме Чевы, медианы пересекаются в одной точке – точке .

Прямая пересекает две стороны (, ) и продолжение третьей ( – луч, ), значит, по теореме Менелая:

И, значит,

Рассматривая теорему Менелая для и секущей , а также для и секущей , мы получим, что:

Итак, все три медианы пересекаются в точке и делятся ею в отношении , считая от вершины.

Доказано.

II блок задач (пропорциональные отрезки)

Задача 3.

В на стороне взята точка так, что . На продолжении стороны за точку взята точка так, что . Прямая пересекает сторону в точке . Найти отношение .

Дано: , , , – луч, , , .

Найти отношение .

Решение.

I способ (без использования теоремы Менелая).

Сделаем дополнительное построение: проведём отрезок (рис. 18).

Пусть , тогда по условию (): ; пусть , тогда по условию (): .

– общий угол для и ;

как соответственные углы, образованные при пересечении параллельных прямых и ( по дополнительному построению) секущей , .

Следовательно, по двум углам.

Итак, – коэффициент подобия:

И, значит,

как вертикальные углы;

как накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых и ( по дополнительному построению) секущей , , .

Следовательно, по двум углам.

Итак, – коэффициент подобия:

Но, так как по доказанному:

то мы получаем, что:

Ответ: .

II способ (c использованием теоремы Менелая).

Пусть , тогда по условию (): ; пусть , тогда по условию (): .

Прямая пересекает две стороны (, ) и продолжение третьей ( – луч, ), значит, по теореме Менелая:

И, значит,

Ответ: .

Задача 4.

На стороне взята точка , а на стороне взята точка , причём . Точка пересечения отрезков и делит в отношении , считая от точки . Найти отношение .

Дано: , , , , , .

Найти отношение .

Решение.

I способ (без использования теоремы Менелая).

Сделаем дополнительное построение: проведём отрезок (рис. 20).

Пусть , тогда по условию (): ; пусть , тогда по условию ( ): .

Источник: http://stud24.ru/geometry/primenenie-teorem-chevy-i-menelaya/515317-2280015-page1.html

Применение теорем Менелая и Чевы для решения задач. 9-й класс

Применение теорем Чевы и Менелая при решении задач ЕГЭ

Бугакова Татьяна Вячеславовна, учитель математики

Разделы: Математика

Цели урока:

обобщить, расширить и систематизировать знания и умения учащихся; научить использовать знания при решении сложных задач;
способствовать развитию навыков самостоятельного применения знаний при решении задач;
развивать логическое мышление и математическую речь учащихся, умение анализировать, сравнивать и обобщать;
воспитывать у учащихся уверенность в себе, трудолюбие; умение работать в коллективе.

Задачи урока:

Образовательная: повторить теоремы Менелая и Чевы; применить их при решении задач.
Развивающая: учить выдвигать гипотезу и умело доказательно отстаивать свое мнение; проверить умение обобщать и систематизировать свои знания.
Воспитательная: повысить интерес к предмету и подготовить к решению более сложных задач.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Оборудование: карточки для коллективной работы на уроке по данной теме, индивидуальные карточки для самостоятельной работы, компьютер, мультимедийный проектор, экран.

I этап. Организационный момент (1 мин.)

Учитель сообщает тему и цель урока.

II этап. Актуализация опорных знаний и умений (10 мин.)

Учитель: На уроке вспомним теоремы Менелая и Чевы для того, чтобы успешно перейти к решению задач. Давайте вместе с вами посмотрим на экран, где представлен. Для какой теоремы дан этот рисунок? (теорема Менелая). Постарайтесь четко сформулировать теорему.

Рисунок 1

Пусть точка A1 лежит на стороне BC треугольника АВС, точка C1 – на стороне AB, точка B1 – на продолжении стороны АС за точку С. Точки A1, B1и C1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство

Учитель: Давайте вместе рассмотрим следующий рисунок. Сформулируйте теорему для этого рисунка.

Рисунок 2

Прямая AD пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника ВМС.

По теореме Менелая

Прямая МВ пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника АDС.

По теореме Менелая

Учитель: Какой теореме соответствует рисунок? (теорема Чевы). Сформулируйте теорему.

Рисунок 3

Пусть в треугольнике АВС точка A1лежит на стороне ВС, точка B1 – на стороне АС, точка C1 – на стороне АВ. Отрезки AA1, BB1и CC1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство

III этап. Решение задач. (22 мин.)

Класс разбивается на 3 команды, каждая получает карточку с двумя различными задачами. Дается время на решение, затем на экране появляются .

По готовым чертежам к задачам представители команд поочередно объясняют свое решение. После каждого объяснения следует обсуждение, ответы на вопросы и проверка правильности решения на экране.

В обсуждении принимают участие все члены команд. Чем активнее команда, тем выше она оценивается при подведении итогов.

Карточка 1.

1. В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC = 3BN; на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА = АС. Прямая MN пересекает сторону АВ в точке F. Найдите отношение

2. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Решение 1

Рисунок 4

По условию задачи МА = АС, NC = 3BN. ПустьMA = AC =b, BN = k, NC = 3k. Прямая MNпересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей.

По теореме Менелая

Ответ:

Доказательство 2

Рисунок 5

Пусть AM1, BM2, СM3 – медианы треугольника АВС. Чтобы доказать, что эти отрезки пересекаются в одной точке, достаточно показать, что

Тогда по теореме Чевы (обратной) отрезки AM1, BM2 и СM3 пересекаются в одной точке.

Имеем:

Итак, доказано, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Карточка 2.

1. На стороне PQтреугольника PQR взята точка N, а на стороне PR – точка L, причем NQ = LR. Точка пересечения отрезков QL и NR делит QL в отношении m:n, считая от точки Q. Найдите

2. Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Решение 1

Рисунок 6

По условию NQ = LR, ПустьNA = LR =a, QF = km, LF = kn. Прямая NR пересекает две стороны треугольника PQL и продолжение третьей.

По теореме Менелая

Ответ:

Доказательство 2

Рисунок 7

Покажем, что

Тогда по теореме Чевы (обратной) AL1, BL2, CL3 пересекаются в одной точке. По свойству биссектрис треугольника

Перемножая почленно полученные равенства, получаем

Для биссектрис треугольника равенство Чевы выполняется, следовательно, они пересекаются в одной точке.

Карточка 3.

1. В треугольнике АВС AD – медиана, точка O – середина медианы. Прямая ВО пересекает сторону АС в точке К. В каком отношении точка К делит АС, считая от точки А?

2. Докажите, если в треугольник вписана окружность, то отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон, пересекаются в одной точке.

Решение 1

Рисунок 8

Пусть BD = DC = a, AO = OD = m. Прямая ВК пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника ADC.

По теореме Менелая

Ответ:

Доказательство 2

Рисунок 9

Пусть A1, B1и C1 – точки касания вписанной окружности треугольника АВС. Для того чтобы доказать, что отрезки AA1, BB1и CC1 пересекаются в одной точке, достаточно показать, что выполняется равенство Чевы:

Используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения: C1B = BA1 = x, AC1 = CB1 = y, BA1 = AC1 = z.

Равенство Чевы выполняется, значит, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

IV этап. Решение задач (самостоятельная работа) (8 мин.)

Учитель: Работа команд закончена и сейчас приступим к самостоятельной работе по индивидуальным карточкам для 2-х вариантов.

Материалы к уроку для самостоятельной работы учащихся

Вариант 1. В треугольнике АВС, площадь которого равна 6, на стороне AB взята точка К, делящая эту сторону в отношении АК:BK = 2:3, а на стороне АС – точка L, делящая АС в отношении AL:LC = 5:3. Точка Qпересечения прямых СК и BL удалена от прямой AB на расстоянии . Найдите длину стороны АВ. (Ответ: 4.)

Вариант 2. На стороне АС в треугольнике АВС взята точка К. АК = 1, КС = 3. На стороне АВ взята точка L. AL:LВ = 2:3, Q – точка пересечения прямых ВК и СL. Найдите длину высоты треугольника АВС, опущенной из вершины В. (Ответ: 1,5.)

Работы сдаются учителю для проверки.

V этап. Итог урока (2 мин.)

Анализируются допущенные ошибки, отмечаются оригинальные ответы и замечания. Подводятся итоги работы каждой команды и выставляются оценки.

VI этап. Домашнее задание (1 мин.)

Домашнее задание составлено из задач №11, 12 стр. 289-290, №10 стр. 301 [1].

Заключительное слово учителя (1 мин).

Сегодня вы услышали со стороны математическую речь друг друга и оценили свои возможности. В дальнейшем, будем применять такие обсуждения для большего понимания предмета. Аргументы на уроке дружили с фактами, а теория с практикой. Вам всем спасибо.

Литература:

Ткачук В.В. Математика абитуриенту. – М.: МЦНМО, 2005.

5.02.2011

Источник: https://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/591871/

Презентация: Теорема Менелая и ее применение при решении задач (подготовка к ЕГЭ)

Применение теорем Чевы и Менелая при решении задач ЕГЭ

Методическая разработкаРудаковой Татьяны ВикторовныУчителя математики МБОУ «Гимназия № 2 »г. Курчатова Курской областиТеорема Менелая и ее применение при решении задач (подготовка к ЕГЭ)

Слайд 2:

Теоретические факты:а) пропорциональные отрезки в треугольникахб) отношение площадей треугольников.Теорема Менелая.Применение теоремы для решения задач.

Слайд 3: Теоретические факты

Теорема ФалесаПараллельные прямые пересекая стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки.Теоремы об отношении площадей треугольников1. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то отношение площадей этих треугольников равно отношению произведений сторон, содержащих эти углыОАА´ВВ´СС´АВСКМ

Слайд 4: Теоремы об отношении площадей треугольников

2. Пусть ∆АВС и ∆АВ D имеют общую сторону АВ. Тогда отношение их площадей равно отношению высот, проведенных из вершин С и D.S(∆ АВС) : S (АВ D ) = СР: DQ.3.Отношение площадей треугольников,имеющих равные высоты равноотношению оснований:S(∆ АВС) : S (АВ D ) = AC :А D.АВСDPQАВСDP

Слайд 5: Задача.(Р.К.Гордин.Математика.ЕГЭ-2014.ЗадачаС4.№6.3) На стороне ВС треугольника АВС и на продолжении стороны АВ за вершину В расположены точки М и К соответственно, причем ВМ:МС = 4:5 и ВК:АВ=1:5. Прямая КМ пересекает сторону АС в точке N. Найти отношение С N : А N.

РешениеПроведем ВР параллельно КМ.По теореме Фалеса для угла N АК:По теореме Фалеса для угла ВСР:4. Итак, z =4 d, тогда А N= 6z=24d, значит С N :А N =5:24.Ответ: 5:24АСВМКN4х5ху5уР5zzN4x5d4d

Слайд 6

Предложенный вариант решения задачи – один из традиционных, без применения теоремы Менелая.

Рассмотрим другой (более рациональный) способ решения, применяя указанную теоремуТеорема МенелаяПусть на сторонах AB, BC и на продолжении стороны AC ∆ABC взяты соответственно точки С´, А´ и В´, не совпадающие с вершинами ∆ABC.

Точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенствоДля дальнейшего решения задач воспользуемся необходимым условием данной теоремы.

Слайд 7: Теорема Менелая

Если на сторонах ВС, АВ и продолжении стороны АС треугольника АВС за точку С отмечены соответственно точки А´, С´,В´, лежащие на одной прямой, тоВАСВ´А´С´

Слайд 8: Доказательство

Проведем СК //АВ, тогда ∆СКВ´ ~ ∆ АС´В´, поэтомуСК =2. ∆ СКА´ ~ ∆ВС´А´, поэтому3. Подставляя СК из п.1, имеемВАСВ´КА´С´

Слайд 9: Задача. (Р.К.Гордин.Математика.ЕГЭ-2014.ЗадачаС4.№6.3) На стороне ВС треугольника АВС и на продолжении стороны АВ за вершину В расположены точки М и К соответственно, причем ВМ:МС = 4:5 и ВК:АВ=1:5. Прямая КМ пересекает сторону АС в точке N. Найти отношение С N : А N.

Стрелки на рисунке (от точки А) показывают, как легко запомнить последовательность отрезков в пропорции.НайдемОтвет:АСВNMK4х5ху5у

Слайд 10: Задача. ( Р.К.Гордин. Математика. ЕГЭ-2014. ЗадачаС4. №6.10) В треугольнике АВС АВ=с, ВС=а, АС=в. В каком отношении центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису С D ?

Найти:Ответ:Задача. ( Р.К.Гордин. Математика. ЕГЭ-2014. ЗадачаС4. №6.10) В треугольнике АВС АВ=с, ВС=а, АС=в. В каком отношении центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису С D ?Решение:Для треугольника ВС D и секущей АК:Найдем ДА: =ДА =3. Найдем :ВСАКDО

Слайд 11: Задача. (Р. К. Гордин. Математика. ЕГЭ-2014. Задача С4. №6.14) В ∆ АВС, площадь которого равна 6, на стороне АВ взята т.К, делящая эту сторону в отношении АК:ВК=2:3, а на стороне АС взята т. L, делящая АС в отношении AL : L С=5:3. Точка Q пересечения прямых СК и В L отстоит от прямой АВ на расстояние 1,5. Найти сторону АВ.

Решение:Для тр. АСК и секущей В L найдем отношение CQ : QK.2. Проведем высоту СР. СР// QH.3. По теореме Фалеса Н – середина РК, тогда QH -средняя линия СРК, значит СР=3.4. S (АВС) =0,5 АВ•СР, тогда АВ=2 S (АВС) :СР=4.Ответ: АВ = 4.АВСК2x3xL5y3yQHР