Реферат по математике Натуральные числа (10 класс)

Натуральное число

1 Определение
- 1.1 Аксиомы Пеано
- 1.2 Теоретико-множественное определение (Определение Фреге-Рассела)
2 Ноль как натуральное число
3 Операции над натуральными числами
- 3.1 Теоретико-множественные определения
- 3.2 Основные свойства
- 3.3 Алгебраическая структура

Примечания

Натуральные числа можно использовать для счёта (одно яблоко, два яблока и т. п.).

Натуральные числа (естественные числа) — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при:

перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий, …);
обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета, …). Принят в трудах Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств.

Отрицательные и нецелые (рациональные, вещественные, …) числа натуральными не являются.

Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком . Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся большее его натуральное число.

1.1. Аксиомы Пеано

Множество будем называть множеством натуральных чисел, если зафиксирован некоторый элемент (единица) и функция (функция следования) так, что выполнены следующие условия

(1 является натуральным числом);
Если , то (Число, следующее за натуральным, также является натуральным);
(1 не следует ни за каким натуральным числом);
Если S(b) = a и S(c) = a, тогда b = c (если натуральное число a непосредственно следует как за числом b, так и за числом c, то b = c);
Аксиома индукции. Пусть P(n) — некоторый одноместный предикат, зависящий от параметра — натурального числа n. Тогда:

если P(1) и , то (Если некоторое высказывание P верно для n = 1 (база индукции) и для любого n при допущении, что верно P(n), верно и P(n + 1) (индукционное предположение), тоP(n) верно для любых натуральных n).

Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивные представления о «натуральном ряде».

Принципиальным фактом является то, что эти аксиомы по сути однозначно определяют натуральные числа (категоричность системы аксиом Пеано). А именно, можно доказать (см.[1], а также краткое доказательство [2]), что если и — две модели для системы аксиом Пеано, то они необходимо изоморфны, то есть существует биекция такая, что и для всех .

Поэтому, достаточно зафиксировать в качестве какую-либо одну конкретную модель множества натуральных чисел, например, ту, что описана ниже.

1.2. Теоретико-множественное определение (Определение Фреге-Рассела)

Согласно теории множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.

Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:

Числа, заданные таким образом, называются ординальными.

Первые несколько ординальных чисел и соответствующие им натуральные числа:

2. Ноль как натуральное число

Иногда, в иностранной и переводной литературе, в первой и третьей аксиомах Пеано заменяют 1 на 0. В этом случае ноль считается натуральным числом. При определении через классы равномощных множеств 0 является натуральным числом по определению.

Специально отбрасывать его было бы неестественно. Кроме того, это значительно усложнило бы дальнейшее построение и применение теории, так как в большинстве конструкций ноль, как и пустое множество, не является чем-то выделенным.

Одним из преимуществ натурального нуля является то, что при этом образует полугруппу с единицей.

В русской литературе обычно ноль исключён из числа натуральных чисел , а множество натуральных чисел с нулём обозначается как . Если в определение натуральных чисел включен ноль, то множество натуральных чисел записывается как , а без нуля как .

В международной математической литературе, с учётом сказанного выше и во избежание неоднозначностей, множество обычно называют множеством положительных целых чисел и обозначают . Множество зачастую называют множеством неотрицательных целых чисел и обозначают .

3. Операции над натуральными числами

К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции:

Сложение. Слагаемое + Слагаемое = Сумма
Умножение. Множитель * Множитель = Произведение
Возведение в степеньab, где a — основание степени и b — показатель степени. Если основание и показатель натуральны, то и результат будет являться натуральным числом.

Дополнительно рассматривают ещё две операции. С формальной точки зрения они не являются операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет).

Вычитание. Уменьшаемое — Вычитаемое = Разность. При этом Уменьшаемое должно быть больше Вычитаемого (или равно ему, если считать 0 натуральным числом).
Деление. Делимое / Делитель = (Частное, Остаток). Частное p и остаток r от деления a на b определяются так: a = p * b + r, причём . Заметим, что именно последнее условие запрещает деление на ноль, так как иначе a можно представить в виде a = p * 0 + a, то есть можно было бы считать частным 0, а остатком = a.

Следует заметить, что именно операции сложения и умножения являются основополагающими. В частности, кольцо целых чисел определяется именно через бинарные операции сложения и умножения.

3.1. Теоретико-множественные определения

Воспользуемся определением натуральных чисел как классов эквивалентности конечных множеств. Будем обозначать класс эквивалентности множества A относительно биекций как [A]. Тогда основные арифметические операции определяются следующим образом:

[A][B] = [AB]

где — дизъюнктное объединение множеств, — прямое произведение, AB — множество отображений из B в A. Можно показать, что полученные операции на классах введены корректно, то есть не зависят от выбора элементов классов, и совпадают с индуктивными определениями.

3.2. Основные свойства

Коммутативность сложения.
Коммутативность умножения.
Ассоциативность сложения.
Ассоциативность умножения.
Дистрибутивность умножения относительно сложения.

3.3. Алгебраическая структура

Сложение превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, роль единицы выполняет 0.

Умножение также превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, при этом единичным элементом является 1.

С помощью замыкания относительно операций сложения-вычитания и умножения-деления получаются группы целых чисел и рациональных положительных чисел соответственно.

Примечания

Феферман С. Числовые системы. Основания алгебры и анализа. — 1971. — 445 с.
Доказательство единственности натуральных чисел — www.apronus.com/provenmath/naturalaxioms.htm.

скачать
Данный реферат составлен на основе статьи из русской Википедии. Синхронизация выполнена 10.07.11 16:35:55
Похожие рефераты: Натуральные волокна, Натуральные лады, Натуральные киллеры, Натуральные уравнения, Натуральные краски, Числа, Числа Стирлинга, P-адические числа, Числа Бетти.

Категории: Натуральные числа.

Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareA.

Источник: http://wreferat.baza-referat.ru/%D0%9D%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0

Натуральные числа

Реферат по математике Натуральные числа (10 класс)

Натуральные числа и различные системы для их обозначения использовались еще в древних цивилизациях: Древнем Междуречье, Древнем Египте, Древнем Китае, в племенах Майя. Понятие числа «ноль», по видимому, появилось позже понятия натуральных чисел в позднем Вавилоне и у Майя.

Замечание 1

В самые древние времена для счета использовали палочки. Такой способ записи сохранился в римском исчислении. Число при такой записи представляло собой сумму или разность палочек, которая была записана без каких-либо знаков.

С развитием систем счисления определенные числа стали обозначать буквами алфавита. В современных системах счисления значение каждой цифры числа определяет ее место в записи числа. Первой такой системой счисления была вавилонская (шестидесятеричная) и индийская (десятичная).

Вариантом индийской десятичной системой счисления является современная арабская система с тем различием, что в индийской системе отсутствовал ноль. Цифру $0$ придумали арабы, после чего система счисления приняла современный вид.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Для счисления времени используется шестидесятеричная система (за основу взято число $60$): $1$ час содержит $60$ минут, $1$ минута — $60$ секунд.

В работах математика Пьера де Ферма были положены основы теории чисел или высшей арифметики как отдельной науки, которая изучает чистые, формальные свойства натуральных чисел.

Натуральные числа. Множество натуральных чисел

Натуральные числа $1, 2, 3, \dots$ используются для счёта (одна груша, две груши, три груши и т.д.) или для указания порядкового номера предмета среди ему подобных.

Натуральные числа принято записывать с помощью арабских цифр: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.

Рисунок 1.

Определение 1

Натуральные числа (или естественные числа) — числа, которые возникают естественным образом при подсчете чего-либо.

Пример 1

Натуральными будут числа: $3, 48, 157, 1089, 25556$.

Если выстроить все натуральные числа в порядке их возрастания, то получим натуральный ряд.

Для определения натуральных чисел существует два подхода:

Числа, которые возникают при подсчете (нумерации) предметов (например, первый, второй и т.д.).
Числа, которые используют для обозначения количества предметов (нет стула, один стул, два стула и т.д.).

При первом подходе натуральный ряд начинается с единицы, при втором — с нуля.

Математики не пришли к единому выводу считать ли ноль натуральным числом. В большинстве российских источников традиционным является первый подход. Второй подход широко используется в программировании (например, при индексации массивов, нумерации битов машинного кода и т.д.).

Замечание 2

К натуральным числам не относятся ни отрицательные, ни нецелые числа.

Определение 2

Множество всех натуральных чисел обозначается $N=\left\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \dots ,\ n,\ \dots \right\}$ и характеризуется своей бесконечностью, т.к. для любого натурального числа $n$ существует натуральное число, которое будет большее $n$.

Пример 2

Какие из чисел являются натуральными?

\[-6;\ \ 5;\ \ 0,6;\ \ \ \frac{1}{2};\ \ \ \sqrt[3]{5};\ \ 38;\ \ \ -38;\ \ 12,5;\ \ 4.\]

Ответ: $5;\ \ 38;\ \ \ 4.$

При формулировке и доказательстве многих теорем арифметики натуральных чисел удобно использовать и ноль, поэтому при первом подходе применяется понятие расширенного множества натуральных чисел, которое содержит ноль и обозначается $N_0$ или $Z_0$.

Ноль как натуральное число

В русской литературе принято исключать нуль из числа натуральных чисел ($0otin N$), а множество натуральных чисел с нулём обозначают $N_0$.

В международной математической литературе множество $\left\{1,\ \ 2,\ \ 3,\ \dots \right\}$ принято называть множеством положительных целых чисел и обозначать $Z+$. Множество $\left\{0,\ \ 1,\ \ 2,\ \dots \right\}$ принято называть множеством неотрицательных целых чисел и обозначать $Z{\ge 0}$.

Чтобы прочитать натуральное число, нужно выполнить следующие действия:

Разбить число справа налево на группы из $3$ цифр.
Прочитать слева направо по очереди группы из $3$ цифр и добавить название класса.
Название класса пропускают, если в группе цифр все нули.

Рисунок 2.

Каждую цифру класса называют разрядом класса.

Меньшим натуральным числом является то, которое при проведении подсчета используется раньше. Например, число $9$ меньше $20$ (записывается $9 55$.

Аксиомы Пеано для натуральных чисел

Множество $N$ будем называть множеством натуральных чисел, если зафиксирован некоторый элемент единица $1\in N$ и функция следования $S:N\to N$ так, что выполнены следующие условия:

$1\in N$: единица является натуральным числом.
Если $x\in N$, то $S\left(x\right)\in N$: Если число — натуральное, то следующее число за ним тоже натуральное}.
$exists x\in N\ \left(S\left(x\right)=1\right)$: Не существует натурального числа, которое находится перед единицей}.
Если $S\left(b\right)=a$ и $S\left(c\right)=a$, тогда $b=c$: Если натуральное число $a$ следует за числом $b$ и за числом $c$, то $b=c$.
Аксиома индукции. Пусть $P\left(n\right)$ — некоторый одноместный предикат, который зависит от натурального числа $n$. Тогда:

Если $P\left(1\right)$ и $\forall n\left(P\left(n\right)\Longrightarrow P\left(S\left(n\right)\right)\right)$, то $\forall n\ P\left(n\right)$:

Если некоторое высказывание $P$ верно для $n=1$ и для любого $n$ из истинности $P\left(n\right)$ следует истинность $P\left(n+1\right)$, то $P\left(n\right)$ верно для любого натурального $n$.

Все аксиомы отражают представление о натуральном ряде и числовой линии.

Теоретико-множественное определение натуральных чисел (определение Фреге—Рассела)

По теории множеств единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.

Таким образом, исходя из понятия множества натуральные числа вводятся по двум правилам:

$0=\emptyset $
$S\left(n\right)=n\cup \left\{n\right\}$
Заданные таким образом числа называются порядковыми или ординальными.

Описываются первые порядковые числа и натуральные числа, которые им соответствуют, следующим образом:

$0=\emptyset $
$1=\left\{0\right\}=\left\{\emptyset \right\}$
$2=\left\{0,\ \ 1\right\}=\left\{\emptyset ,\ \ \left\{\emptyset \right\}\right\}$
$3=\left\{0,\ \ 1,\ \ 2\right\}=\left\{\emptyset ,\ \ \left\{\emptyset \right\},\ \ \left\{\emptyset ,\ \ \left\{\emptyset \right\}\right\}\right\}$

Источник: https://spravochnick.ru/matematika/naturalnye_chisla/

Класс миллиардов

Если взять десять сотен миллионов, то получим новую разрядную единицу — один миллиард или в записи цифрами.

1 000 миллионов = 1 000 000 000 = 1 млрд

Десять таких единиц — десять миллиардов, десять десятков миллиардов образуют следующую единицу — сто миллиардов.

Миллиарды, десятки миллиардов и сотни миллиардов образуют четвёртый класс — класс миллиардов.

Разряды и классы натурального числа

Рассмотрим натуральное число 783 502 197 048:

Название
класса

Название разряда

Цифра
(символ)

Миллиарды	Миллионы	Тысячи	Единицы
Сотни миллиардов	Десятки миллиардов	Миллиарды	Сотни миллионов	Десятки миллионов	Миллионы	Сотни тысяч	Десятки тысяч	Тысячи	Сотни	Десятки	Единицы
7	8	3	5	0	2	1	9	7	0	4	8

C помощью таблицы разрядов прочитаем это число. Для этого надослева направо по очереди называть количество единиц каждого класса и добавлять название класса.

Название класса единиц не произносят, также не произносят название класса, если все три цифры в его разрядах — нули.

Теперь прочтем число 783 502 197 048 из таблицы: 783 миллиарда 502 миллиона 197 тысяч 48.

Любое натуральное число можно записать в видеразрядных слагаемых.

Числа 1, 10, 100, 1000… называются разрядными единицами. С их помощью натуральное число записывается в виде разрядных слагаемых. Так, например, число 307 898 будет выглядеть в виде разрядных слагаемых.

307 898 = 300 000 + 7 000 + 800 + 90 + 8

Проверить свои вычисления вы можете с помощью нашего калькулятораразложения числа на разряды онлайн.

Следующие за миллиардом классы названы в соответствии с латинскими наименованиями чисел. Каждая следующая единица содержит тысячу предыдущих.

1 000 миллиардов = 1 000 000 000 000 = 1 триллион («три» — по латыни «три»)
1 000 триллионов = 1 000 000 000 000 000 = 1 квадриллион («квадра» — по латыни «четыре»)
1 000 квадриллионов = 1 000 000 000 000 000 = 1 квинтиллион («квинта» — по латыни «пять»)

Все числа пересчитать невозможно, поскольку за каждым числом следует число на единицу большее, но очень большие числа в обыденной жизни не нужны.

Однако, физики подсчитали, что количество атомов — мельчайших частиц вещества — во всей Вселенной не превосходит числа, выражаемого единицей со ста нулями. Это число получило специальное название — гугол.

       Для  счёта  предметов  применяют  натуральные  числа.  Любое
натуральное   число  можно  записать  с  помощью  десяти  цифр:
О,  1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9.

Например: триста двадцать восемь — 328

пятьдесят тысяч четыреста двадцать один — чисел называют

Последовательность всех натуральных чисел называют
натуральным рядом:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, …

Самое маленькое натуральное число — единица (1).
В натуральном ряду каждое следующее число на 1 больше предыдущего.

Натуральный ряд бесконечен,

наибольшего числа в нем нет.

Значение цифры зависит от ее места в записи числа.

Например 375:

цифра 5 означает: 5 единиц, она на последнем месте в записи

числа (в разряде единиц),

цифра 7 — десятки, она находится на предпоследнем месте

(в разряде десятков),

цифра 3 — сотни, она стоит на третьем месте от конца

(в разряде сотен) и т. д.

Цифра 0 означает отсутствие единиц данного разряда в
десятичной записи числа. Она служит и для обозначения числа «нуль».

Это число означает «ни одного».

Помните! Нуль не относят к натуральным числам.

Если запись натурального числа состоит из одного знака — одной
цифры, то его называют однозначным.

Например, числа 1, 5, 8 — однозначные.

Если запись числа состоит из двух знаков — двух цифр,

то его называют двузначным.

числа 14, 33, 28, 95 — двузначные,

числа 386, 555, 951 — трехзначные,

числа 1346, 5787, 9999 — четырехзначные и т. д.

Простейшие числа — это числа натуральные. Мы пользуемся ими в повседневной жизни для счета предметов, то есть для определения их количества и порядка.

Для записи чисел в настоящее время используется позиционная десятичная система счисления (для записи любого числа используются 10 цифр — 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; при этом значение каждой цифры определяется ее местом в записи числа).

Определение. Натуральные числа — это числа, используемые для счета предметов или для указания порядкового номера того или иного предмета среди однородных предметов.

Например: 3, 132, 68, 126, 548, 10050.

Натуральные числа, расположенные в порядке возрастания, образуют числовой ряд. Он начинается с наименьшего натурального числа — 1. Наибольшего натурального числа нет, так как ряд натуральных чисел бесконечен. Если к любому натуральному числу прибавить единицу, то получаем число, следующее за данным числом.

Число 0 натуральным числом не является, так как означает полное отсутствие чего бы то ни было, значит, счет предметов тоже отсутствует.

Натуральные числа в общем виде обозначаются большой латинской буквой N.

Определение. Натуральные числа, расположенные в порядке возрастания, иачиная с 1 и до бесконечности, называются натуральным рядом.

Например, первые члены ряда: 1, 2,3,4

В древнейшие времена для записи чисел и счета использовались палочки, этот способ счисления сохранился в римских цифрах. При этом число представляло собой сумму или разность палочек, записанную без каких-либо знаков.

Следующим этапом развития систем счисления стало обозначение определенных чисел буквами алфавита. Наконец, современные системы счисления являются поместными: значение каждой цифры числа определяется ее местом в записи числа. Первыми из таких систем счислений были вавилонская (шестидесятеричная) и индийская (десятичная).

Современная система счисления, которая называется арабской, является одним из вариантов индийской. Однако в индийской системе счисления отсутствовала цифра 0. Эту цифру изобрели арабы, после чего система счисления приняла современный вид.

Десятичная система счисления основана на разрядности и десятичности.
Материалом для построения числа являются цифры от 0 до 9.

Для исчисления времени в градусной мере углов сохранилась шестидесятеричная система счисления (за основу взято число 60). В 1 часе — 60 минут, в 1 минуте — 60 секунд; в 1 угловом градусе — 60 минут, в 1 угловой минуте — 60 секунд.

Перегляд глосарію, використовуючи цей індекс.
Спеціальні | А | Б | В | Г | Ґ | Д | Е | Є | Ж | З | И | І | Ї | Й | К | Л | М | Н | О | П | Р | С | Т | У | Ф | Х | Ц | Ч | Ш | Щ | Ь | Ю | Я | ВСЕВ цій секції записів не знайдено.
Пропустити Матеріали сайту

Источник: http://www.zhu.edu.ua/mk_school/mod/glossary/view.php?id=10462