Положительные и отрицательные числа (6 класс)

6 класс. Математика. Положительные и отрицательные числа — Положительные и отрицательные числа

Вспом­ним, какие числа вы уже зна­е­те. На­чи­на­ли вы изу­че­ние с на­ту­раль­ных чисел, тех чисел, ко­то­рые мы ис­поль­зу­ем при счете, таких как 1, 2, 3, 4… и т. д. Потом вы­яс­ни­ли, что таких чисел нам не хва­та­ет.

На­при­мер, если раз­де­лить от­ре­зок длины 1 по­по­лам, то длина по­лу­чив­ше­го­ся от­рез­ка будет не целой. Так мы по­зна­ко­ми­лись с дроб­ны­ми чис­ла­ми, та­ки­ми как , , .

Итак, мы вспом­ни­ли, что есть на­ту­раль­ные и есть дроб­ные числа, но вы­яс­ня­ет­ся, что и их не хва­та­ет. Рас­смот­рим это на при­ме­ре.

 Пример 1

У вас есть 40 руб. и вы хо­ти­те ку­пить мо­ро­же­ное за 20 руб. Сколь­ко денег у вас оста­нет­ся после по­куп­ки? (см. рис. 1).

Рис. 1. Мо­ро­же­ное за 20 руб.

Ре­ше­ние

Те­перь пред­ставь­те несколь­ко иную си­ту­а­цию. У вас есть 20 руб., и вы хо­ти­те ку­пить мо­ро­же­ное за 40 руб. Сколь­ко тогда денег у вас оста­нет­ся? (см. рис. 2).

Рис. 2. Мо­ро­же­ное за 40 руб.

Ре­ше­ние

Можно ре­шить по ана­ло­гии: .

Но 20 мень­ше 40. И имея 20 руб., мо­ро­же­ное за 40 руб. ку­пить нель­зя. Можно за­нять 20 руб. и толь­ко тогда ку­пить мо­ро­же­ное. Но что после этого оста­нет­ся?

Ана­ло­гич­ные пред­по­сыл­ки воз­ни­ка­ют и на чис­ло­вой оси.

 Пример 2

Рас­смот­рим чис­ло­вую ось (см. рис. 3).

Рис. 3. Чис­ло­вая ось

На ней от­ме­че­ны на­ту­раль­ные числа 1, 2, 3 и т. д. и на­ча­ло в точке ноль. Также на со­от­вет­ству­ю­щих от­рез­ках можем от­ме­тить числа , , и т. д. (см. рис. 4).

Рис. 4. Чис­ло­вая ось

Что озна­ча­ет,  Это мы к 1 при­бав­ля­ем три еди­ни­цы и по­па­да­ем в точку 4 (см. рис. 5).

Рис. 5. Чис­ло­вая ось

Так, .

Точно так же мы можем сде­лать шаг в дру­гую сто­ро­ну. На­при­мер, что будет, если мы из 1 вы­чтем 3: ? Мы по­па­дем в пу­сто­ту (см. рис. 6).

Рис. 6. Чис­ло­вая ось

Здесь и на­хо­дят­ся от­ри­ца­тель­ные числа, ко­то­рые нам, без­услов­но, по­на­до­бят­ся (см. рис. 7).

Рис. 7. Чис­ло­вая ось

Те­перь мы можем их вве­сти. Но как же обо­зна­ча­ют­ся от­ри­ца­тель­ные числа? Для этого вспом­ним, как обо­зна­ча­ют­ся на­ту­раль­ные числа, такие как 1, 2, 3, 4 и т. д. (см. рис. 8).

Рис. 8. Чис­ло­вая ось

Но что по­ка­зы­ва­ет число 2? Оно по­ка­зы­ва­ет, что от 0 до 2 по­ме­ща­ет­ся два еди­нич­ных от­рез­ка (см. рис. 9).

Рис. 9. Чис­ло­вая ось

Если от­ло­жить такой же от­ре­зок влево, мы по­лу­чим рас­сто­я­ние от точки 0 ровно в один от­ре­зок. Так мы по­лу­ча­ем число 1.

То есть, если на­ту­раль­ные числа у нас обо­зна­ча­ют­ся как 1, 2, 3 и т. д., то от­ри­ца­тель­ные как -1, -2, -3.(см. рис. 10).

Рис. 10. Чис­ло­вая ось

Есть число , для него су­ще­ству­ет про­ти­во­по­лож­ное число. Оно на­хо­дит­ся между -2 и -1 и равно — (см. рис. 11).

Рис. 11. Чис­ло­вая ось

Вер­нем­ся к пер­во­му при­ме­ру. У нас было 20 руб. и мы по­тра­ти­ли 40 руб., у нас оста­лось -20 руб.

Как дей­ство­вать с от­ри­ца­тель­ны­ми чис­ла­ми, как их скла­ды­вать, вы­чи­тать и т. д. – это темы более позд­них уро­ков. А сей­час да­вай­те по­ду­ма­ем, где же в ре­аль­ной жизни при­ме­ня­ют­ся от­ри­ца­тель­ные числа?

 Температура воздуха

На неко­то­рых улич­ных гра­дус­ни­ках тем­пе­ра­ту­ра по­ка­зы­ва­ет­ся так: есть план­ка ноль гра­ду­сов, есть то, что выше нуля – 1, 2, 3, и т. д, а есть то, что ниже нуля, и обо­зна­ча­ет­ся от­ри­ца­тель­ны­ми чис­ла­ми -1, -2, -3 и т. д. (см. рис. 12).

Рис. 12. Тер­мо­метр

Еще -1 гра­дус на­зы­ва­ют 1 гра­ду­сом мо­ро­за, а +1 гра­дус – одним гра­ду­сом тепла. То есть и там, и там 1, но вме­сто знака минус мы упо­треб­ля­ем слова «мо­ро­за». А когда не хотим упо­треб­лять, го­во­рим: «Тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха – -20 гра­ду­сов» (см. рис. 13).

Рис. 13. Тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха

Это и озна­ча­ет минус, что от нуля мы идем не вверх, а вниз.

 Уровень воды в реке

Уро­вень воды в реке (см. рис. 14).

Рис. 14. Уро­вень воды в реке

Как вы зна­е­те, уро­вень воды в реке может по­вы­шать­ся и по­ни­жать­ся. Так вот, если уро­вень воды по­вы­сил­ся на 5 см, го­во­рят: «Из­ме­нил­ся на +5 см» (см. рис. 15).

Рис. 15. Уро­вень воды в реке

Если же он по­ни­зил­ся на 5 см, то го­во­рят «Уро­вень воды из­ме­нил­ся на -5 см» (см. рис. 16).

Рис. 16. Уро­вень воды в реке

И там, и там уро­вень воды из­ме­нил­ся на 5 см, но, когда он по­вы­сил­ся, го­во­рят на +5 см, а, когда по­ни­зил­ся – на -5 см.

Рас­смот­рим еще один при­мер.

 Пример 3

Пред­при­ни­ма­тель вла­де­ет фир­мой по про­да­же яблок, и в ян­ва­ре он за­ра­бо­тал чи­стой при­бы­ли 500 руб., а в фев­ра­ле – 800 руб. В марте яб­ло­ки по­ку­па­ли хуже, и он остал­ся в убыт­ке, а имен­но его при­быль со­ста­ви­ла -200 руб. (см. рис. 17).

Рис. 17. Де­неж­ный поток

Для того чтобы по­счи­тать сумму, ко­то­рую пред­при­ни­ма­тель за­ра­бо­тал за 3 ме­ся­ца, нужно сло­жить всю его при­быль (см. рис. 18):

Рис. 18. Де­неж­ный поток

Более по­доб­но о дей­стви­ях с от­ри­ца­тель­ны­ми чис­ла­ми можно озна­ко­мить­ся в сле­ду­ю­щих уро­ках.

 Подведение итогов

Се­год­ня мы вы­яс­ни­ли, что тех чисел, ко­то­рые мы знали до этого – на­ту­раль­ных (1, 2, 3 … и т. д.) и дроб­ных (, , ), не хва­та­ет для неко­то­рых прак­ти­че­ских целей, по­это­му мы ввели от­ри­ца­тель­ные (-1, -2, -3… и т. д.).

От­ри­ца­тель­ные числа на чис­ло­вой оси на­хо­дят­ся слева от нуля. Могут быть не толь­ко целые от­ри­ца­тель­ные числа, но и дроб­ные. И мы вы­яс­ни­ли, где могут воз­ни­кать от­ри­ца­тель­ные числа, а имен­но там, где ве­ли­чи­на может быть уве­ли­че­на и умень­ше­на. Так было при из­ме­ре­нии тем­пе­ра­ту­ры, уров­ня воды и из­ме­ре­нии до­хо­дов и рас­хо­дов.

источник видео — http://www..com/watch?v=HDcaAOUx11Q

источник видео — http://www..com/watch?v=mLvcIEXc6Pc

источник видео — http://www..com/watch?v=jLXv3JxCC5Y

источник видео — http://www..com/watch?v=BqIFyxrckm4

источник презентации — http://ppt4web.ru/matematika/polozhitelnye-i-otricatelnye-chisla.html

источник конспекта — http://interneturok.ru/ru/school/matematika/6-klass/polozhitelnye-i-otricatelnye-chisla/otritsatelnye-chisla

Источник: https://www.kursoteka.ru/course/2787/lesson/9021/unit/22986

Положительные и отрицательные числа. 6-й класс

• Шангина Ирина Евгеньевна, учитель математики

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (1 МБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель: закрепить умения и навыки в действиях с положительными и отрицательными числами.

Задачи:

• Повторить понятия положительных и отрицательных чисел; закрепить навыки выполнения действий с положительными и отрицательными числами.
• Способствовать воспитанию интереса к предмету через нетрадиционную форму проведения урока.
• Развивать логическую смекалку, творческое мышление.

Тип урока: урок повторения и закрепления знаний учащихся с использованием ИТ.

Формы организации учебной деятельности: коллективная, индивидуальная.

Оборудование: компьютер, проектор, презентация PowerPoint, набор индивидуальных карточек (приложение 1, приложение 2), аудиофайлы с музыкой.

I. Организационный момент.

Я рада видеть каждого из вас И пусть весна прохладой в окна дышит Нам будет здесь уютно, ведь наш класс

Друг друга любит, чувствует и слышит.

– Сегодня в нашей школе открыт научно-исследовательский институт. На месте кабинетов организованны лаборатории, а все учащиеся школы его научные сотрудники. В кабинете математики открыта лаборатория № 1. Заведующей лабораторией назначили меня. И сегодня мы с вами повторим, обобщим и систематизируем знания, полученные вами на предыдущих занятиях.

– Для работы мне понадобятся помощники – старшие научные сотрудники – которые будут помогать мне в течение урока. Это Рината и Ирина.

– А теперь в ваших журналах наблюдения – рабочих тетрадях – запишем число, классная работа, тема исследования: «Положительные и отрицательные числа».

II. Устная работа.

– В нашу лабораторию поступило сообщение. Прочитайте его.

«В архиве нашего института произошел сбой системы. Потерялись многие сведения. Чтобы их восстановить, нужны специалисты в области положительных и отрицательных чисел. Помогите»

– Мы с вами уже изучили положительные и отрицательные числа, много действий умеем с ними делать. Мы в какой-то мере являемся специалистами в этой области, как вы думаете? {Да}

– Поможем? {Да}

– Раз мы будем помогать восстанавливать утраченные сведения, то мы должны пройти испытания: все ли готовы совершить эту важную миссию.

– Ответим на несколько вопросов.

1. Скажите пожалуйста какое перед нами число? {Число – 32}
2. Как называется это число? {Это число отрицательное}
3. А где расположено это число на координатной прямой? {Это число на координатной прямой расположено слева от нуля}
4. А какие числа называются отрицательными? {Отрицательными числами называются числа, которые расположены на координатной прямой слева от нуля}
5. Мы говорим о координатной прямой. А какая прямая называется координатной? {Координатной прямой называется прямая, на которой есть начало отсчета, единичный отрезок и направление}
6. Назовите два целых соседних с данным числа. {– 31 и – 33}
7. А какое число будет противоположно данному? {Число 32}
8. А какие числа называются противоположными? {Противоположными называются числа, которые отличаются друг от друга только знаками}
9. Чему равен модуль данного числа? {Модуль данного числа равен 32}
10.  А что называется модулем числа? {Модулем числа называется расстояние от начала отсчета до точки на координатной прямой}

– Ну что ж с заданием все справились. Значит, можем продолжить восстанавливать потерянные сведения.

III. Задания на сравнение чисел и выполнение действий с модулями чисел.

– Выполним следующее задание: Расставьте синие числа в порядке возрастания, а красные – в порядке убывания.

– А теперь проверим, что у вас получилось. {Синие: — 8; — 7; — 4,2; — 3,5; ; ; Красные: ; 5; ; 2,3; 1,4; 0,1}

– Молодцы. С этим заданием вы справились.

– Теперь возьмите желтые листы. На них вы видите схему, по которой нужно найти значение выражения. I вариант выполняет первое задание, II вариант выполняет второе задание. А так как мы все сотрудники одной лаборатории, то и ответ вы найдете вместе.

– Проверим ваши ответы. {Ответ: 28}

IV. Историческая справка.

– Сейчас сядьте поудобнее, можно немножко расслабится,  подготовится к следующим серьезным заданиям и прослушать небольшую историческую справку.

Понятие об отрицательных числах возникло в практике очень давно, причем при решении таких заданий, где из меньшего числа приходилось вычитать большее число.

Египтяне, вавилоняне, а также древние греки не знали отрицательных чисел и для производства вычислений математики того времени пользовались счетной доской.

А так как знаков «плюс» и «минус» не существовало, то они на этой доске положительные числа отмечали красными счетными палочками, а отрицательные – синими. И отрицательные числа долгое время назывались словами, которые означали долг, недостача, а положительные трактовались как имущество.

Древнегреческий ученый Диофант вообще не признавал отрицательных чисел, и если при решении у него получался отрицательный корень, то он отбрасывал его как недоступный.

Совершенно по-другому относились к отрицательным числам древнеиндийские математики: они признавали существование отрицательных чисел, но относились к ним с некоторым недоверием, считая их своеобразными, не совсем реальными.

Не одобряли их долго и европейцы, потому что истолкование имущество – долг вызывало недоумение и сомнение. Действительно, можно складывать и вычитать имущество – долг, а как умножать и делить? Это было непонятно и нереально.

Всеобщее признание отрицательные числа получили в первой половине XIX века. Была создана теория, по которой мы сейчас и изучаем отрицательные числа.

– Скажите, пожалуйста, а эти определения отрицательных и положительных чисел как имущество и долг сейчас в нашем современном мире просматриваются? Как вы думаете? {Ответы учащихся}

– Ну вот, мы восстановили еще немного информации об отрицательных числах.

V. Практические задания.

– Все научно-исследовательские институты решают задачи, которые потом применяются на практике. Сейчас мы тоже решим несколько задач, в которых увидим, где применяются отрицательные числа.

Задача 1. Птица клест-еловик несет яйца и высиживает птенцов зимой. Даже при температуре воздуха – 35°С в гнезде температура не ниже 14°С. На сколько температура в гнезде выше температуры воздуха?

Решение.

Чтобы определить на сколько температура в гнезде больше, чем температура воздуха, нужно от 14 отнять – 35.

1) 14 – (- 35) = 14 + 35 = 49°С – температура в гнезде больше.

Ответ: на 49°С.

Задача 2. Шмели выдерживают температуру до – 7,8°С, пчелы – выше этой на 1,4°С. Какую температуру выдерживают пчелы?

Решение.

1) – 7,8 + 1,4 = — (7,8 – 1,4) = — 6,4 °С выдерживают пчелы.

Ответ: — 6,4°С.

– Молодцы. С этим заданием вы тоже справились.

VI. Релаксация.

– Как и у каждого учреждения у нас перерыв.

– Сядьте посвободнее, закройте глаза, расслабьтесь. На улице весна. Ярче светит солнышко. Звенит капель. Побежали ручейки и стали появляться проталины. На проталинах робко выглядывает и тянется к солнышку зеленая трава. С юга потянулись стаи птиц. Лучик солнца скользит по вашим лицам. От этого вам тепло и уютно, вы чувствуете себя отдохнувшими и полными свежих сил и энергии.

– А теперь откройте глаза. Перерыв окончен.

VII. Тестовая работа.

– Пока вы отдыхали, я узнала, что руководство НИИ решило провести тестирование научных сотрудников.

– Перед вами лежат бланки с тестами. Подпишите их. В этом тестовом задании вам нужно выбрать правильный вариант ответа и обвести его кружочком.

– Все готовы? Тогда начинаем.

– Время закончилось. Я попрошу старших научных сотрудников собрать бланки с тестами.

VIII. Итог урока.

– Вот и закончился рабочий день в нашем научно-исследовательском институте. Мы помогли восстановить потерянные сведения о положительных и отрицательных числах.

– Придете вы сегодня домой, к своим родителям и что вы скажете? Продолжите, пожалуйста, фразу: «Сегодня на уроке математики я …»

– А я сегодня, когда приду домой скажу своим родственникам, что сегодня на уроке математики я еще раз убедилась какие у меня замечательные, дружные, умные ученики.

– А сегодня у нас урок закончился. Спасибо. До свидания.

5.03.2011

Источник: https://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/594387/

Отрицательные числа

Отрицательные числа — это числа со знаком минус (−), например −1, −2, −3. Читается как: минус один, минус два, минус три.

Примером применения отрицательных чисел является термометр, показывающий температуру тела, воздуха, почвы или воды. В зимнее время, когда на улице очень холодно, температура бывает отрицательной (или как говорят в народе «минусовой»).

Например, −10 градусов холода:

Обычные же числа, которые мы рассматривали ранее, такие как 1, 2, 3 называют положительными. Положительные числа — это числа со знаком плюс (+).

При записи положительных чисел знак + не записывают, поэтому мы и видим привычные для нас числа 1, 2, 3. Но следует иметь ввиду, что эти положительные числа выглядят так: +1, +2, +3.

Координатная прямая

Координатная прямая это прямая линия, на которой располагаются все числа: и отрицательные и положительные. Выглядит следующим образом:

Здесь показаны числа от −5 до 5. На самом деле координатная прямая бесконечна. На рисунке представлен лишь её небольшой фрагмент.

Числа на координатной прямой отмечают в виде точек. На рисунке жирная чёрная точка является началом отсчёта. Начало отсчёта начинается с нуля. Слева от начала отсчёта отмечают отрицательные числа, а справа — положительные.

Координатная прямая продолжается бесконечно по обе стороны. Бесконечность в математике обозначается символом ∞. Отрицательное направление будет обозначаться символом −∞, а положительное символом +∞. Тогда можно сказать, что на координатной прямой располагаются все числа от минус бесконечности до плюс бесконечности:

(−∞; +∞)

Каждая точка на координатной прямой имеет своё имя и координату. Имя — это любая латинская буква. Координата — это число, которое показывает положение точки на этой прямой. Проще говоря, координата это то самое число, которое мы хотим отметить на координатной прямой.

Например, точка А(2) читается как «точка А с координатой 2» и будет обозначаться на координатной прямой следующим образом:

Здесь A — это имя точки, 2 — координата точки A.

Пример 2. Точка B(4) читается как «точка B с координатой 4» и будет обозначаться на координатной прямой так:

Здесь B — это имя точки, 4 — координата точки B.

Пример 3. Точка M(−3) читается как «точка M с координатой минус три» и будет обозначаться на координатной прямой так:

Здесь M — это имя точки, −3 — координата точки M.

Точки можно обозначать любыми буквами. Но общепринято обозначать их большими латинскими буквами. Более того, начало отчёта, которое по другому называют началом координат принято обозначать большой латинской буквой O

Легко заметить, что отрицательные числа лежат левее относительно начала отсчёта, а положительные числа правее.

Существуют такие словосочетания, как «чем левее, тем меньше» и «чем правее, тем больше». Наверное, вы уже догадались о чём идёт речь. При каждом шаге влево, число будет уменьшаться в меньшую сторону. И при каждом шаге вправо число будет увеличиваться. Стрелка, направленная вправо, указывает на положительное направление отсчёта.

Сравнение отрицательных и положительных чисел

Правило 1.Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.

Например, сравним два числа: −5 и 3. Минус пять меньше, чем три, несмотря на то, что пятёрка бросается в глаза в первую очередь, как цифра большая, чем три.

Связано это с тем, что −5 является отрицательным числом, а 3 — положительным. На координатной прямой можно увидеть, где располагаются числа −5 и 3

Видно, что −5 лежит левее, а 3 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше». И правило говорит, что любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Отсюда следует, что

−5 < 3

«Минус пять меньше, чем три»

Правило 2.Из двух отрицательных чисел меньше то, которое располагается левее на координатной прямой.

Связано это опять же с тем, что на координатной прямой −4 располагается левее, чем −1

Видно, что −4 лежит левее, а −1 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше». И правило говорит, что из двух отрицательных чисел меньше то, которое располагается левее на координатной прямой. Отсюда следует, что

−4 < −1

Минус четыре меньше, чем минус единица

Правило 3.Ноль больше любого отрицательного числа.

Например, сравним 0 и −3. Ноль больше, чем минус три. Связано это с тем, что на координатной прямой 0 располагается правее, чем −3

Видно, что 0 лежит правее, а −3 левее. А мы говорили, что «чем правее, тем больше». И правило говорит, что ноль больше любого отрицательного числа. Отсюда следует, что

0 > −3

Ноль больше, чем минус три

Правило 4.Ноль меньше любого положительного числа.

Например, сравним 0 и 4. Ноль меньше, чем 4. Это в принципе ясно и так. Но мы попробуем увидеть это воочию, опять же на координатной прямой:

Видно, что на координатной прямой 0 располагается левее, а 4 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше». И правило говорит, что ноль меньше любого положительного числа. Отсюда следует, что

0 < 4

Ноль меньше, чем четыре

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу и начни получать уведомления о новых уроках

Источник: http://spacemath.xyz/otricatelnie_chisla/