Подборка задач по геометрии на тему Смежные и вертикальные углы (7 класс)

7 класс. Геометрия. Смежные и вертикальные углы. — Смежные и вертикальные углы

Нач­нем наш урок с по­ня­тия «смеж­ные углы». На ри­сун­ке 1 изоб­ра­жен раз­вер­ну­тый угол ∠АОС и луч ОВ, ко­то­рый делит дан­ный угол на 2 угла.

Рис. 1. Угол ∠АОС

Рас­смот­рим углы ∠АОВ и ∠ВОС. Вполне оче­вид­но, что они имеют общую сто­ро­ну ВО, а сто­ро­ны АО и ОС яв­ля­ют­ся про­ти­во­ле­жа­щи­ми. Лучи ОА и ОС до­пол­ня­ют друг друга, а зна­чит, они лежат на одной пря­мой. Углы ∠АОВ и ∠ВОС яв­ля­ют­ся смеж­ны­ми.

Опре­де­ле­ние: Если два угла имеют общую сто­ро­ну, а две дру­гие сто­ро­ны яв­ля­ют­ся до­пол­ня­ю­щи­ми лу­ча­ми, то дан­ные углы на­зы­ва­ют­ся смеж­ны­ми.

Тео­ре­ма 1: Сумма смеж­ных углов – 180о.

Рис. 2. Чер­теж к тео­ре­ме 1

∠МОL + ∠LON = 180o. Дан­ное утвер­жде­ние яв­ля­ет­ся вер­ным, так как луч OL делит раз­вер­ну­тый угол ∠MON на два смеж­ных угла. То есть мы не знаем гра­дус­ных мер ни од­но­го из смеж­ных углов, а знаем лишь их сумму – 180о.

 Вертикальные углы

Рас­смот­рим пе­ре­се­че­ние двух пря­мых. На ри­сун­ке изоб­ра­же­но пе­ре­се­че­ние двух пря­мых  в точке О.

Рис. 3. Вер­ти­каль­ные углы ∠ВОА и ∠СОD

Опре­де­ле­ние: Если сто­ро­ны од­но­го угла яв­ля­ют­ся про­дол­же­ни­ем вто­ро­го угла, то такие углы на­зы­ва­ют­ся вер­ти­каль­ны­ми. Имен­но по­это­му на ри­сун­ке изоб­ра­же­но две пары вер­ти­каль­ных углов: ∠АОВ и ∠СОD, а также ∠AOD и ∠ВОС.

Тео­ре­ма 2: Вер­ти­каль­ные углы равны.

Ис­поль­зу­ем ри­су­нок 3. Рас­смот­рим раз­вер­ну­тый угол ∠АОС. ∠АОВ = ∠АОС – ∠ВОС = 180о – β. Рас­смот­рим раз­вер­ну­тый угол ∠ВОD. ∠CОD = ∠BОD – ∠BОС = 180о – β.

Из этих со­об­ра­же­ний мы де­ла­ем вывод, что ∠АОВ = ∠СОD = α. Ана­ло­гич­но, ∠AOD = ∠ВОС = β.

 Следствия из теорем о смежных и вертикальных углах

След­ствие 1: Угол между бис­сек­три­са­ми смеж­ных углов равен 90о.

Рис. 4. Чер­теж к след­ствию 1

По­сколь­ку ОL – бис­сек­три­са угла ∠ВОА, то угол ∠LOB =  , ана­ло­гич­но ∠ВОК =  . ∠LOK = ∠LOB + ∠BOK =  +    =  . Сумма углов α + β равна 180о, по­сколь­ку дан­ные углы – смеж­ные.

След­ствие 2: Угол между бис­сек­три­са­ми вер­ти­каль­ных углов равен 180о.

Рис. 5. Чер­теж к след­ствию 2

Оче­вид­но, что ∠KOL = ∠KOB + ∠BOC + ∠COL =  o. Сумма углов α + β равна 180о, так как дан­ные углы – смеж­ные.

 Задачи

Рас­смот­рим неко­то­рые за­да­чи:

При­мер 1:

Най­ди­те угол, смеж­ный с ∠АOС, если ∠АOС = 111о.

Ре­ше­ние:

Вы­пол­ним чер­теж к за­да­че:

Рис. 6. Чер­теж к при­ме­ру 1

Ре­ше­ние

По­сколь­ку ∠АОС = β и ∠СOD = α смеж­ные углы, то α + β = 180о. То есть 111о + β = 180о.

Зна­чит, β = 69о.

Этот тип задач экс­плу­а­ти­ру­ет тео­ре­му о сумме смеж­ных углов.

При­мер 2:

Один из смеж­ных углов пря­мой, каким (ост­рым, тупым или пря­мым) яв­ля­ет­ся дру­гой угол?

Ре­ше­ние:

Если один из углов пря­мой, а сумма двух углов 180о, то и дру­гой угол тоже пря­мой. Эта за­да­ча про­ве­ря­ет зна­ния о сумме смеж­ных углов.

При­мер 3:

Верно ли, что если смеж­ные углы равны, то они пря­мые?

Ре­ше­ние:

Со­ста­вим урав­не­ние: α + β = 180о, но по­сколь­ку α = β, то β + β = 180о, зна­чит, β = 90о.

Ответ: Да, утвер­жде­ние верно.

При­мер 4:

Даны два рав­ных угла. Верно ли, что и смеж­ные им углы тоже будут равны?

Ре­ше­ние:

Рис. 7. Чер­теж к при­ме­ру 4

Если два угла равны α, то со­от­вет­ству­ю­щие им смеж­ные углы будут 180о – α. То есть они будут равны между собой.

Ответ: Утвер­жде­ние верно.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/7-klass/nachalnye-geometricheskie-svedeniya/smezhnye-i-vertikalnye-ugly

http://www..com/watch?v=i787jb_oWzc

http://www..com/watch?v=hFHoprRwoCE

http://www..com/watch?v=ZUuItx4QsXY

http://school-assistant.ru/?predmet=geometr&theme=vertikalnie_i_smeznie_ugli

http://istudy.su/wp-content/uploads/2013/01/2_%D0%A1%D0%BC%D0%B5%D0%B6%D0%BD%D1%8B%D0%B5-%D0%B8-%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5-%D1%83%D0%B3%D0%BB%D1%8B-731×1024.jpg

https://www.euroki.net/books/gdzs/1204/585711.png

http://www.uchportal.ru/_ld/339/33950____.rar

Источник: https://www.kursoteka.ru/course/5206/lesson

Решение задач по теме

• Графуткина Галина Ивановна, заместитель директора по УВР,учитель математики

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (9,3 МБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Тип урока: урок закрепления нового материала

Цели урока:

• Образовательные: повторить и закрепить понятия о смежных и вертикальных углах;
• Развивающие: развивать умение анализировать условие задачи;
• Воспитательные: воспитание аккуратности (аккуратное выполнение чертежей на доске и в тетрадях, рациональное распределение записей).

Структура урока:

• I этап. Организационный момент
• II этап. Актуализация опорных знаний
• III этап. Закрепление изученного материала
• IV этап. Зарядка для глаз
• V этап. Самостоятельная работа
• VI этап. Домашнее задание
• VII этап. Итог урока

I. Организационный момент

(Слайд 1-2)

Приветствие, сообщение темы, целей и задач. 
Учитель: Вам было задано домашнее задание: повторить п.14 и 15, ответить на вопросы 1, 2, 3, 6, 7. Сейчас проверим, как вы подготовились к уроку.

II. Актуализация опорных знаний

(Слайд 3)

Вопрос: Какие углы называются смежными? (Ответ. Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны являются дополнительными полупрямыми)

Вопрос. Из рисунка назвать смежные углы. (Ответ: ∠АОВ и ∠ВОС – смежные углы)

Вопрос. Какая сторона у них общая? (Ответ: ОВ – общая сторона.)

Вопрос. Назвать дополнительные полупрямые. (Ответ. ОС и ОА – дополнительные полупрямые.)

(Слайд 4) Вопрос. Какими свойствами обладают смежные углы?

Ответ.

• Сумма смежных углов равна 180° (теорема)

∠1 + ∠2 = 180°

• Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны.
• Если угол не развернутый, то его градусная мера меньше 180°.
• Угол, смежный с прямым, есть прямой угол.

(Слайд 5)

Вопросы. Могут ли два смежных угла быть равными:

а) 75° и 80°; Ответ: (нет, т.к.75° + 80°=155°)
б) 94° и 96°; Ответ: (нет, т.к. 94° + 96°= 190°)
в) 83° и 97°? Ответ: (да, т.к. 83° + 97°= 180°)

(Слайд 6)

Устно.

Дано: ∠АОВ а ∩ АО а ∩ ОВ ∠3 = ∠4	Доказательство. 1. ∠3 смежный с ∠1, ∠4 смежный с ∠2 . 2. Т.к. ∠3 = ∠4 (по условию), то ∠1 = ∠ 2, как углы, смежные равным углам. (по свойству смежных углов).
Доказать ∠1 = ∠2

(Слайд 7)

Вопрос. Какие углы называются вертикальными?

(Ответ. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого).

∠ 1 и ∠ 3 – вертикальные углы

∠ 2 и ∠ 4 – вертикальные углы

(Слайд 8)

Вопрос. Каким свойством обладают смежные углы?

Ответ. Вертикальные углы равны. (теорема)

∠ 1 = ∠ 3

∠ 2 = ∠ 4

III этап. Закрепление изученного материала. Решение задач

(Слайд 9)

№3 (учебник)

Дано: ∠1 и ∠2– смежные ∠1 больше ∠2 в 2 раза	Решение. 1. Пусть ∠2 = х, тогда ∠1=2х 2. Т.к. ∠1 + ∠2 = 180°(по теореме о смежных углах), то х + 2х = 180° 3х = 180°, ⇒ х =180°: 3, х = 60°. 3. Следовательно: ∠2 = 60°, ∠1 = 2∙60°= 120° Ответ: ∠1= 120°, ∠2= 60°,
Найти ∠1 и ∠2

(Слайд 10)

№6(2)

Дано: ∠1 и ∠2 – смежные ∠1 : ∠2 = 3 : 7	Решение. 1. Пусть х. – коэффициент пропорциональности. Тогда ∠1 = 3х, ∠2 = 7х (по условию задачи) 2. Т.к ∠1 + ∠2 = 180°(по теореме о смежных углах), то 3х + 7х = 180°, 10х = 180°, х = 18°. 3. Следовательно: ∠1 =3 ∙ 18°=54°, ∠2 =7 ∙ 18°=126° Ответ: 54°; 126°.
Найти ∠1 и ∠2

(Слайд 11)

Дано: ∠1 и ∠2 – смежные ∠2 составляет 0,2 от∠1	Решение 1. Пусть ∠1 = х, тогда ∠2 = 0,2х (по условию). 2. Т.к. ∠1 + ∠2 = 180° (по теореме о смежных углах), то х + 0,2х =180°, 1,2х = 180°, х = 150°, 3. Следовательно: ∠1=150°, ∠2= 0,2∙ 150°= 30°. Ответ: 150°, 30°
Найти ∠1 и ∠2

(Слайд 12)

Дано: а ∩ b ∠2 меньше ∠1 в 4 раза	Решение 1. Пусть ∠2 = х , тогда ∠1 = 4х (по условию), 2. Т.к. ∠1+ ∠2 = 180° (по теореме о смежных углах), то 4х + х = 180°, 5х = 180°, х = 36°. 3. Следовательно: ∠2 = 36°, ∠1 = 4∙36° = 144° ∠3= ∠1, ∠4= ∠2 (по теореме о вертикальных углах), значит ∠3= 144°, ∠4=36°. Ответ: 144°, 36°, 144°, 36°.
Найти ∠1, ∠2, ∠3 и ∠4

(Слайд 13)

Дано: AС ∩ ВD = O ∠ВОС = 23°	Решение 1. ∠АОD = ∠ВОС = 23° (по теореме о вертикальных углах) 2. ∠АОВ + ∠ВОС = 180° (по теореме о смежных углах). Следовательно: ∠АОВ =180°– ∠ВОС, т.е. ∠АОВ =180° – 23° = 157° 3. ∠СОD = ∠АОВ = 157° (по теореме о вертикальных углах). Ответ: 157°, 157°, 23°.
Найти: ∠СОD, ∠АОВ, ∠АОD.

(Слайд 14)

Устно. Вопрос. Назовите смежные и вертикальные углы.

Ответ.

Смежные углы:∠ АОМ и ∠ АОD, ∠АОD и ∠NОD, ∠NОD и ∠NОМ, ∠NОМ и ∠АОМ .

Вертикальные углы: ∠АОМ и ∠NОD, ∠АОD и ∠NОМ. 

V этап. Самостоятельная работа (на листочках)

Вариант 1	Вариант 2
№1. Один из углов, получившихся при пересечении двух прямых, равен 87°. Найдите остальные углы.	№1. Один из углов, получившихся при пересечении двух прямых, равен 118°. Найдите остальные углы.
№2. Разность смежных углов равна 50°. Найдите меньший угол.	№2. Один из смежных углов в 4 раза меньше другого. Найдите больший угол.

Ответы

Вариант 1	Вариант 2
№1. 93°, 87°, 93°.	№1. 62°, 118°, 62°
№2. 75°.	№2. 36°.

VI этап. Домашнее задание.

1. §2. Пункты 14-15.
2. Задачи на стр. 26. № 6(4), № 12.

VII этап. Итог урока.

• Повторили понятия смежных и вертикальных углов
• Научились решать задачи, используя знания о смежных и вертикальных углах.
• Стали еще на одну ступеньку выше в изучении геометрии.

26.03.2013

Источник: https://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/632917/