Дробно — рациональные выражения. 8 класс. Математика.

Алгебра 7-9 классы. 13. Дробные рациональные выражения. Действия с рациональными дробями — Всё для чайников

Подробности Категория: Алгебра 7-9 классы

1. Рациональные выражения

В курсе алгебры 7 класса мы занимались преобразованиями целых выражений, т. е. выражений, составленных из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания и умножения, а также деления на число, отличное от нуля. Так, целыми являются выражения

В отличие от них выражения

помимо действий сложения, вычитания и умножения, содержат деление на выражение с переменными. Такие выражения называют дробными выражениями.

Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.

Целое выражение имеет смысл при любых значениях входящих в него переменных, так как для нахождения значения целого выражения нужно выполнить действия, которые всегда возможны.

Дробное выражение при некоторых значениях переменных может не иметь смысла. Например, выражение не имеет смысла

при а = 0. При всех остальных значениях а это выражение имеет

смысл. Выражение имеет смысл при тех значениях х и у, x ≠ y.

Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных.

Выражение вида называется, как известно, дробью.

Дробь, числитель и знаменатель которой многочлены, называют рациональной дробью.

Примерами рациональных дробей служат дроби

В рациональной дроби допустимыми являются те значения переменных, при которых не обращается в нуль знаменатель дроби.

Пример 1. Найдем допустимые значения переменной в дроби

Чтобы найти, при каких значениях а знаменатель дроби обращается в нуль, нужно решить уравнение а(а — 9) = 0.

Это уравнение имеет два корня: 0 и 9. Следовательно, допустимыми значениями переменной а являются все числа, кроме 0 и 9.

Пример 2. При каком значении х значение дроби равно нулю ?

 Дробь  равна нулю тогда и только тогда, когда a = 0 и b ≠ 0.

Числители дроби равен нулю, если , т.е.

или . Итак, числитель дроби равен нулю при x = 7 и  x= -3. Знаменатель данной дроби не равен нулю, если x ≠ -3. Значит,  данная дробь равна нулю при x = 7.

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей

Мы знаем, что для обыкновенных дробей выполняется следующее свойство: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, то значение дроби не изменится. Иначе говоря, при любых натуральных значениях а, b и с верно paвенство

 Докажем, что это равенство верно не только при натуральных, но и при любых других значениях а, b и с, при которых знаменатель отличен от нуля, т. е. при b ≠ О и с ≠ О.

Пусть Тогда по определению частного а = bm. Умножим обе части этого равенства на с :

На основании сочетательного и переместительного свойств умножения имеем:

Так как bс ≠ 0, то по определению частного

Значит,

Мы показали, что для любых числовых значений переменных b и с, где b ≠ О и с ≠ 0, верно равенство

Равенство (1) сохраняет силу и в том случае, когда под буквами а, b и с понимают многочлены, причем b и с — ненулевые многочлены, т. е. многочлены, не равные тождественно нулю.

Равенство (1) выражает основное свойство рациональной дроби:

если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.

Например,

Это равенство верно при всех допустимых значениях переменных. Такие равенства будем называть тождествами. Ранее тождествами мы называли равенства, верные при всех значениях переменных. Теперь мы расширяем понятие тождества.

Определение. Тождеством называется равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.

Основное свойство рациональной дроби позволяет выполнять приведение дроби к новому знаменателю и сокращение дробей. Приведем примеры.

Пример 1. Приведем дробь к знаменателю

Так как то, умножив числитель и знаменатель дроби на , получим:

Множитель называют дополнительным множителем к числителю и знаменателю дроби

Пример 2. Приведем дробь  к знаменателю

Для этого числитель и знаменатель данной дроби умножим на -1:

Дробь можно заменить тождественно равным выражением , поставив знак «минус» перед дробью и заменив  знак в числителе:

Вообще

если изменить знак числителя (или знак знаменателя) дроби и знак перед дробью, то получим выражение, тождественно равное данному.

Пример 3. Сократим  дробь

Разложим числитель и знаменатель дроби на множители:

Сократим полученную дробь на общий множитель a + 3:

Итак,

Пример 4. Построим график функции

Область определения функции -множество всех чисел, кроме числа 4. Сократим дробь

Графиком функции является прямая, а графиком функции но с «выколотой» точкой (4 ; 4) (рис. 1.)

Источник: https://forkettle.ru/vidioteka/estestvoznanie/matematika/181-algebra/algebra-7-9-klassy/1879-algebra-7-9-klassy-13-drobnye-ratsionalnye-vyrazheniya-dejstviya-s-ratsionalnymi-drobyami

Конспект и презентация к уроку математики 8 класса по теме:

Наша кнопка

Скачать материал

Интегрированный урок алгебры и информатики.

Тема:

«Преобразование дробно-рациональных выражений. Вставка формул в документ»

Учитель математики

высшей квалификационной категории

Романова И.С.

Тема: Преобразование дробно-рациональных выражений.

Цель: повторить и закрепить свойства действий с дробями и

сформировать способность к их использованию для рационализации

вычислений.

Задачи: 1.Образовательные — повторение и обобщение материала темы,

контроль усвоения знаний и умений.

2.Развивающие – развитие математического и общего кругозора,

мышления и речи, внимания и памяти.

3. Воспитательные – воспитание интереса к математике посредством

использования современных компьютерных

технологий, умения общаться и памяти.

Ход урока: 1. Проверка домашней работы.

2. Фронтальный опрос;

а) Что называется дробью?

( Дробью называется выражение вида а/в, где буквами обозначены числовые выражения или выражения, содержащие переменные. Выражение а называется числителем, а выражение в называется знаменателем дроби.)

Историческая справка: Обозначение дроби в виде а/в впервые встречается в сочинении итальянского учёного Фибоначчи (он же Леонардо Пизанский) в 1202 году.

Широкое распространение эта запись получила начиная с XVІ в, после введения так называемой буквенной символики. Тогда же получила распространение и современная форма записи действий с алгебраическими дробями.

Основная заслуга в этом принадлежит французскому учёному XVІ в. Франсуа Виету.

Свойства дробей.

(Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и тоже выражение, то получится тождественно равная ей дробь.)

1. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

(Для сложения или вычитания дробей с разными знаменателями дроби приводят к общему знаменателю и затем выполняют преобразования по правилам сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.)

(Чтобы выполнить умножение дробей, нужно перемножить их числители и знаменатели отдельно, и первое произведение записать числителем, а второе знаменателем дроби.)

1. Возведение дроби в степень.

(Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень числитель и знаменатель дроби, и первый результат записать в числитель, а второй — в знаменатель дроби.)

(Чтобы разделить дробь на дробь нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.)

Устная работа:

1. При каких значениях переменной дробь не имеет смысл

(Дробь не имеет смысла, если знаменатель дроби равен нулю. х≠-9, х≠9, вторая дробь имеет смысл при любых значениях х.)

2. При каких значениях Y значение дроби равно нулю а); б) ?

(Дробь равна нулю, если числитель дроби равен нулю а) у=0,у=9 б) у=0; у=-2)

3. Сократить дробь а); б) ?

( а ) ; б) )

Практическая часть урока

1. У доски выполняется № 124 (в) (самостоятельно). Затем проектируется решённое задание .Решение

1)

2)

3)

1. С классом выполняется задание:

Построить график функции: у =

1. Работа по карточкам на местах.

(Проверяется задание , которое выполнялось самостоятельно, карточки собираются и переходим к следующему этапу урока)

1. Любую дробь можно представить в виде суммы двух дробей. Используя данное свойство выполнить задание:

1.Представить дробь в виде суммы двух дробей.

У доски самостоятельно выполняется задание:

2. Указать целочисленные значения функции у=

(Преобразуется функция, методом деления многочлена на многочлен, выделяя целую часть, и получается функция вида у=х-2-.

Данная функция принимает целочисленные значения, если знаменатель дроби принимает следующие значения (х-2)Є{-3;-1;1;3}, выполняя вычисления находим , что х Є{1;-1;3;5}.

Подставляя найденные значения в функцию находим, что у Є{3; -1;-1;3}. Ответ (1;3); (-1;-1);(3;-1) ; (5;3).)

На местах некоторые учащиеся выполняют работу по карточкам.

5. Информатика : Вставка формул в документ.

Закон Ома I=

6. Закрепление материала.

Выполняется разноуровневый тест.

Тест (А)

1. Вычислить:

а) 1/3; б)2/3; в)3/4.

2. Найти область определения функции: у = —

а) х≠-5; х≠0 б) х≠5; х≠0 в) х≠25; х≠0

3. Сократить дробь:

а) ; б) ; в)

4. Представить в виде дроби выражение:

а) ; б); в)

5. Решить уравнение:

а) 1,5; б) 2,5; в) -1,5

Тест (Б)

1. Вычислить:

а) 18; б) -20; в) 36

2. Представить дробь в виде суммы двух дробей: а) ; б) ; в)

3. Сократить дробь:

а) ; б) ; в)

4. Найти целые значения функции: у = 2n -3 +

а) -4; -1;0;1;3;4;5;8. б) -3;1;0;4;6. в) 8;6;4;0;-1;-2

5.Решить уравнение:

а) 0,5; б)-0,5; в) 2

Разноуровневое домашнее задание. (А) 134 (а,г), 141 (а,в), 144 (Б) 161 (г), 163, 164

7. Занимательная математика

Карточка №1 . Упростить выражение : (

Карточка №2 . Упростить выражение : (2х+1-

Карточка №3 . Упростить выражение : (-

Карточка №1 . Найти значения а и в

Карточка №2 . Найти целочисленные значения дроби:

Карточка №3 . Найти целочисленные значения дроби:

Список использованной литературы:

1. Макарычев Ю.Н, Феоктистов И.Е.. Алгебра.8 класс.- М.:«Мнемозина»,2010

2.Макарычев Ю.Н. Уроки алгебры в 8 классе.- М.:«Просвещение»,2010

3. Феоктистов И.Е… Дидактические материалы для 8 класса..-М.:

« Мнемозина»,2010

1. Семенко Е.А. Технология разноуровневого обобщающего повторения по математике .- «Просвещение -Юг»,2008 год

Листать вверх Листать вниз Скачивание материала начнется через 51 сек.

Ещё документы из категории алгебра:



Источник: https://doc4web.ru/algebra/konspekt-i-prezentaciya-k-uroku-matematiki-klassa-po-teme-preobr.html

Грамотное умножение и деление рациональных дробей — 8 класс

16 сентября 2015

Прежде всего, чтобы научиться работать с рациональными дробями без ошибок, необходимо выучить формулы сокращённого умножения. И не просто выучить — их необходимо распознавать даже тогда, когда в роли слагаемых выступают синусы, логарифмы и корни.

Однако основным инструментом остаётся разложение числителя и знаменателя рациональной дроби на множители. Этого можно добиться тремя различными способами:

1. Собственно, по формула сокращённого умножения: они позволяют свернуть многочлен в один или несколько множителей;
2. С помощью разложения квадратного трёхчлена на множители через дискриминант. Этот же способ позволяет убедиться, что какой-либо трёхчлен на множители вообще не раскладывается;
3. Метод группировки — самый сложный инструмент, но это единственный способ, который работает, если не сработали два предыдущих.

Как вы уже, наверное, догадались из названия этого видео, мы вновь поговорим о рациональных дробях. Буквально несколько минут назад у меня закончилось занятие с одним десятиклассником, и там мы разбирали именно эти выражения. Поэтому данный урок будет предназначен именно для старшеклассников.

Наверняка у многих сейчас возникнет вопрос: «Зачем ученикам 10-11 классов изучать такие простые вещи как рациональные дроби, ведь это проходится в 8 классе?». Но в том то и беда, что большинство людей эту тему именно «проходят».

Они в 10-11 классе уже не помнят, как делается умножение, деление, вычитание и сложение рациональных дробей из 8-го класса, а ведь именно на этих простых знаниях строятся дальнейшие, более сложные конструкции, как решение логарифмических, тригонометрических уравнений и многих других сложных выражений, поэтому без рациональных дробей делать в старших классах практически нечего.

Формулы для решения задач

Давайте перейдем к делу. Прежде всего, нам потребуется два факта — два комплекта формул. Прежде всего, необходимо знать формулы сокращенного умножения:

• ${{a}{2}}-{{b}{2}}=\left( a-b \right)\left( a+b \right)$ — разность квадратов;
• ${{a}{2}}\pm 2ab+{{b}{2}}={{\left( a\pm b \right)}{2}}$ — квадрат суммы или разности;
• ${{a}{3}}+{{b}{3}}=\left( a+b \right)\left( {{a}{2}}-ab+{{b}{2}} \right)$ — сумма кубов;
• ${{a}{3}}-{{b}{3}}=\left( a-b \right)\left( {{a}{2}}+ab+{{b}{2}} \right)$ — разность кубов.

В чистом виде они ни в каких примерах и в реальных серьезных выражениях не встречаются. Поэтому наша задача состоит в том, чтобы научиться видеть под буквами $a$ и $b$ гораздо более сложные конструкции, например, логарифмы, корни, синусы и т.д. Научиться видеть это можно лишь при помощи постоянной практики. Именно поэтому решать рациональные дроби совершенно необходимо.

Вторая, совершенно очевидная формула — это разложение квадратного трехчлена на множители:

\[a{{x}{2}}+bx+c=0\to a\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)=0\]

${{x}_{1}}$; ${{x}_{2}}$ — корни.

С теоретической частью мы разобрались. Но как решать реальные рациональные дроби, которые рассматриваются в 8 классе? Сейчас мы и потренируемся.

Задача № 1

\[\frac{27{{a}{3}}-64{{b}{3}}}{{{b}{3}}-4}:\frac{9{{a}{2}}+12ab+16{{b}{2}}}{{{b}{2}}+4b+4}\]

Давайте попробуем применить вышеописанные формулы к решению рациональных дробей. Прежде всего, хочу объяснить, зачем вообще нужно разложение на множители. Дело в том, что при первом взгляде на первую часть задания хочется сократить куб с квадратом, но делать этого категорически нельзя, потому что они являются слагаемыми в числителе и в знаменателе, но ни в коем случае не множителями.

Вообще, что такое сокращение? Сокращение — это использование основного правила работы с такими выражениями. Основное свойство дроби заключается в том, что мы можем числитель и знаменатель можем умножить на одно и то же число, отличное от «нуля».

В данном случае, когда мы сокращаем, то, наоборот, делим на одно и то же число, отличное от «нуля». Однако мы должны все слагаемые, стоящие в знаменателе, разделить на одно и то же число. Делать так нельзя.

И сокращать числитель со знаменателем мы вправе лишь тогда, когда оба они разложены на множители. Давайте это и сделаем.

Теперь необходимо посмотреть, сколько слагаемых находится в том или ином элементе, в соответствии с этим узнать, какую формулу необходимо использовать.

Преобразуем каждое выражение в точный куб:

\[27{{a}{3}}={{3}{3}}\cdot {{a}{3}}={{\left( 3a \right)}{3}}\]

\[64{{b}{3}}={{4}{3}}\cdot {{b}{3}}={{\left( 4b \right)}{3}}\]

Перепишем числитель:

\[{{\left( 3a \right)}{3}}-{{\left( 4b \right)}{3}}=\left( 3a-4b \right)\left( {{\left( 3a \right)}{2}}+3a\cdot 4b+{{\left( 4b \right)}{2}} \right)\]

Давайте посмотрим на знаменатель. Разложим его по формуле разности квадратов:

\[{{b}{2}}-4={{b}{2}}-{{2}{2}}=\left( b-2 \right)\left( b+2 \right)\]

Теперь посмотрим на вторую часть выражения:

Числитель:

\[9{{a}{2}}+12ab+16{{b}{2}}={{\left( 3a \right)}{2}}+3a\cdot 4b+{{\left( 4b \right)}{2}}\]

Осталось разобраться со знаменателем:

\[{{b}{2}}+2\cdot 2b+{{2}{2}}={{\left( b+2 \right)}{2}}\]

Давайте перепишем всю конструкцию с учетом вышеперечисленных фактов:

\[\frac{\left( 3a-4b \right)\left( {{\left( 3a \right)}{2}}+3a\cdot 4b+{{\left( 4b \right)}{2}} \right)}{\left( b-2 \right)\left( b+2 \right)}\cdot \frac{{{\left( b+2 \right)}{2}}}{{{\left( 3a \right)}{2}}+3a\cdot 4b+{{\left( 4b \right)}{2}}}=\]

\[=\frac{\left( 3a-4b \right)\left( b+2 \right)}{\left( b-2 \right)}\]

Нюансы умножения рациональных дробей

Ключевой вывод из этих построений следующий:

• Далеко не каждый многочлен раскладывается на множители.
• Даже если он и раскладывается, необходимо внимательно смотреть, по какой именно формуле сокращенного умножения.

Для этого, во-первых, нужно оценить, сколько всего слагаемых (если их два, то все, что мы можем сделать, то это разложить их либо по сумме разности квадратов, либо по сумме или разности кубов; а если их три, то это, однозначно, либо квадрат суммы, либо квадрат разности). Очень часто бывает так, что или числитель, или знаменатель вообще не требует разложения на множители, он может быть линейным, либо дискриминант его будет отрицательным.

Задача № 2

\[\frac{3-6x}{2{{x}{2}}+4x+8}\cdot \frac{2x+1}{{{x}{2}}+4-4x}\cdot \frac{8-{{x}{3}}}{4{{x}{2}}-1}\]

В целом, схема решения этой задачи ничем не отличается от предыдущей — просто действий будет больше, и они станут разнообразнее.

Начнем с первой дроби: посмотрим на ее числитель и сделаем возможные преобразования:

\[3-6x=3\left( 1-2x \right)\]

Теперь посмотрим на знаменатель:

\[2{{x}{2}}+4x+8=2\left( {{x}{2}}+2x+4 \right)\]

Со второй дробью: в числителе вообще ничего нельзя сделать, потому что это линейное выражение, и вынести из него какой-либо множитель нельзя. Посмотрим на знаменатель:

\[{{x}{2}}-4x+4={{x}{2}}-2\cdot 2x+{{2}{2}}={{\left( x-2 \right)}{2}}\]

Идем к третьей дроби. Числитель:

\[8-{{x}{3}}={{2}{3}}-{{x}{3}}=\left( 2-x \right)\left( {{2}{2}}+2\cdot x+{{x}{2}} \right)\]

Разберемся со знаменателем последней дроби:

\[4{{x}{2}}-1={{\left( 2x \right)}{2}}-{{1}{2}}=\left( 2x-1 \right)\left( 2x+1 \right)\]

Перепишем выражение с учетом вышеописанных фактов:

\[\frac{3\left( 1-2x \right)}{2\left( {{x}{2}}+2x+4 \right)}\cdot \frac{2x+1}{{{\left( x-2 \right)}{2}}}\cdot \frac{\left( 2-x \right)\left( {{2}{2}}+2x+{{x}{2}} \right)}{\left( 2x-1 \right)\left( 2x+1 \right)}=\]

\[=\frac{-3}{2\left( 2-x \right)}=-\frac{3}{2\left( 2-x \right)}=\frac{3}{2\left( x-2 \right)}\]

Нюансы решения

Как видите, далеко не все и не всегда упирается в формулы сокращенного умножения — иногда просто достаточно вынести за скобки константу или переменную.

Однако бывает и обратная ситуация, когда слагаемых настолько много или они так построены, что формулы сокращенного умножения к ним вообще невозможно.

В этом случае к нам на помощь приходит универсальный инструмент, а именно, метод группировки. Именно это мы сейчас и применим в следующей задаче.

Задача № 3

\[\frac{{{a}{2}}+ab}{5a-{{a}{2}}+{{b}{2}}-5b}\cdot \frac{{{a}{2}}-{{b}{2}}+25-10a}{{{a}{2}}-{{b}{2}}}\]

Разберем первую часть:

\[{{a}{2}}+ab=a\left( a+b \right)\]

\[5a-{{a}{2}}+{{b}{2}}-5b=5\left( a-b \right)-\left( {{a}{2}}-{{b}{2}} \right)=\]

\[=5\left( a-b \right)-\left( a-b \right)\left( a+b \right)=\left( a-b \right)\left( 5-1\left( a+b \right) \right)=\]

\[=\left( a-b \right)\left( 5-a-b \right)\]

Давайте перепишем исходное выражение:

\[\frac{a\left( a+b \right)}{\left( a-b \right)\left( 5-a-b \right)}\cdot \frac{{{a}{2}}-{{b}{2}}+25-10a}{{{a}{2}}-{{b}{2}}}\]

Теперь разберемся со второй скобкой:

\[{{a}{2}}-{{b}{2}}+25-10a={{a}{2}}-10a+25-{{b}{2}}=\left( {{a}{2}}-2\cdot 5a+{{5}{2}} \right)-{{b}{2}}=\]

\[={{\left( a-5 \right)}{2}}-{{b}{2}}=\left( a-5-b \right)\left( a-5+b \right)\]

Так как два элемента не получилось сгруппировать, то мы сгруппировали три. Осталось разобраться лишь со знаменателем последней дроби:

\[{{a}{2}}-{{b}{2}}=\left( a-b \right)\left( a+b \right)\]

Теперь перепишем всю нашу конструкцию:

\[\frac{a\left( a+b \right)}{\left( a-b \right)\left( 5-a-b \right)}\cdot \frac{\left( a-5-b \right)\left( a-5+b \right)}{\left( a-b \right)\left( a+b \right)}=\frac{a\left( b-a+5 \right)}{{{\left( a-b \right)}{2}}}\]

Задача решена, и больше ничего упростить здесь нельзя.

Задача № 4

\[\left( {{x}{2}}+\frac{27}{x} \right)\cdot \left( \frac{1}{x+3}+\frac{1}{{{x}{2}}-3x+9} \right)\]

Давайте выпишем первую дробь и попытаемся разобраться с ней отдельно:

\[{{x}{2}}+\frac{27}{x}=\frac{{{x}{2}}}{1}+\frac{27}{x}=\frac{{{x}{3}}}{x}+\frac{27}{x}=\frac{{{x}{3}}+27}{x}=\frac{{{x}{3}}+{{3}{3}}}{x}=\]

\[=\frac{\left( x+3 \right)\left( {{x}{2}}-3x+9 \right)}{x}\]

Переходим ко второй. Сразу посчитаем дискриминант знаменателя:

\[D=9-4\cdot 9

Источник: https://www.berdov.com/docs/rational/sokrashenie-racionalnih-drobey/

8 класс. Алгебра. Алгебраические дроби. — Преобразование рациональных выражений

Урок: Пре­об­ра­зо­ва­ние ра­ци­о­наль­ных вы­ра­же­ний

 1. Рациональное выражение и методика его упрощения

Вспом­ним сна­ча­ла опре­де­ле­ние ра­ци­о­наль­но­го вы­ра­же­ния.

Опре­де­ле­ние. Ра­ци­о­наль­ноевы­ра­же­ние – ал­геб­ра­и­че­ское вы­ра­же­ние, не со­дер­жа­щее кор­ней и вклю­ча­ю­щее толь­ко дей­ствия сло­же­ния, вы­чи­та­ния, умно­же­ния и де­ле­ния (воз­ве­де­ния в сте­пень).

Под по­ня­ти­ем «пре­об­ра­зо­вать ра­ци­о­наль­ное вы­ра­же­ние» мы имеем в виду, пре­жде всего, его упро­ще­ние. А это осу­ществ­ля­ет­ся в из­вест­ном нам по­ряд­ке дей­ствий: сна­ча­ла дей­ствия в скоб­ках, затем про­из­ве­де­ние чисел (воз­ве­де­ние в сте­пень), де­ле­ние чисел, а затем дей­ствия сло­же­ния/вы­чи­та­ния.

 2. Упрощение рациональных выражений с суммой/разностью дробей

Ос­нов­ной целью се­го­дняш­не­го урока будет при­об­ре­те­ние опыта при ре­ше­нии более слож­ных задач на упро­ще­ние ра­ци­о­наль­ных вы­ра­же­ний.

При­мер 1. Упро­стить ра­ци­о­наль­ное вы­ра­же­ние .

Ре­ше­ние. Сна­ча­ла может по­ка­зать­ся, что ука­зан­ные дроби можно со­кра­тить, т. к. вы­ра­же­ния в чис­ли­те­лях дро­бей очень по­хо­жи на фор­му­лы пол­ных квад­ра­тов со­от­вет­ству­ю­щих им зна­ме­на­те­лей. В дан­ном слу­чае важно не спе­шить, а от­дель­но про­ве­рить, так ли это.

Про­ве­рим чис­ли­тель пер­вой дроби: . Те­перь чис­ли­тель вто­рой: .

Как видно, наши ожи­да­ния не оправ­да­лись, и вы­ра­же­ния в чис­ли­те­лях не яв­ля­ют­ся пол­ны­ми квад­ра­та­ми, т. к. у них от­сут­ству­ет удво­е­ние про­из­ве­де­ния.

Такие вы­ра­же­ния, если вспом­нить курс 7 клас­са, на­зы­ва­ют непол­ны­ми квад­ра­та­ми. Сле­ду­ет быть очень вни­ма­тель­ны­ми в таких слу­ча­ях, т. к.

пе­ре­пу­ты­ва­ние фор­му­лы пол­но­го квад­ра­та с непол­ным – очень частая ошиб­ка, а по­доб­ные при­ме­ры про­ве­ря­ют вни­ма­тель­ность уча­ще­го­ся.

По­сколь­ку со­кра­ще­ние невоз­мож­но, то вы­пол­ним сло­же­ние дро­бей. У зна­ме­на­те­лей нет общих мно­жи­те­лей, по­это­му они про­сто пе­ре­мно­жа­ют­ся для по­лу­че­ния наи­мень­ше­го об­ще­го зна­ме­на­те­ля, а до­пол­ни­тель­ным мно­жи­те­лем для каж­дой из дро­бей яв­ля­ет­ся зна­ме­на­тель дру­гой дроби.

Ко­неч­но же, далее можно рас­крыть скоб­ки и при­ве­сти затем по­доб­ные сла­га­е­мые, од­на­ко, в дан­ном слу­чае можно обой­тись мень­ши­ми за­тра­та­ми сил и за­ме­тить, что в чис­ли­те­ле пер­вое сла­га­е­мое яв­ля­ет­ся фор­му­лой суммы кубов, а вто­рое – раз­но­сти кубов. Для удоб­ства вспом­ним эти фор­му­лы в общем виде:

 и .

В нашем же слу­чае вы­ра­же­ния в чис­ли­те­ле сво­ра­чи­ва­ют­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

, вто­рое вы­ра­же­ние ана­ло­гич­но. Имеем:

.

Ответ. .

При­мер 2. Упро­стить ра­ци­о­наль­ное вы­ра­же­ние .

Ре­ше­ние. Дан­ный при­мер похож на преды­ду­щий, но здесь сразу видно, что в чис­ли­те­лях дро­бей на­хо­дят­ся непол­ные квад­ра­ты, по­это­му со­кра­ще­ние на на­чаль­ном этапе ре­ше­ния невоз­мож­но. Ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му при­ме­ру скла­ды­ва­ем дроби:

, здесь мы ана­ло­гич­но спо­со­бу, ука­зан­но­му выше, за­ме­ти­ли и свер­ну­ли вы­ра­же­ния по фор­му­лам суммы и раз­но­сти кубов.

Ответ. .

При­мер 3. Упро­стить ра­ци­о­наль­ное вы­ра­же­ние .

Ре­ше­ние. Можно за­ме­тить, что зна­ме­на­тель вто­рой дроби рас­кла­ды­ва­ет­ся на мно­жи­те­ли по фор­му­ле суммы кубов. Как мы уже знаем, раз­ло­же­ние зна­ме­на­те­лей на мно­жи­те­ли яв­ля­ет­ся по­лез­ным для даль­ней­ше­го по­ис­ка наи­мень­ше­го об­ще­го зна­ме­на­те­ля дро­бей.

.

Ука­жем наи­мень­ший общий зна­ме­на­тель дро­бей, он равен: , т. к. де­лит­ся на зна­ме­на­тель тре­тьей дроби, а пер­вое вы­ра­же­ние во­об­ще яв­ля­ет­ся целым, и для него по­дой­дет любой зна­ме­на­тель. Ука­зав оче­вид­ные до­пол­ни­тель­ные мно­жи­те­ли, за­пи­шем:

.

Ответ.

 3. Упрощение рациональных выражений со сложными «многоэтажными» дробями

Рас­смот­рим более слож­ный при­мер с «мно­го­этаж­ны­ми» дро­бя­ми.

При­мер 4. До­ка­зать тож­де­ство  при всех до­пу­сти­мых зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной.

До­ка­за­тель­ство. Для до­ка­за­тель­ства ука­зан­но­го тож­де­ства по­ста­ра­ем­ся упро­стить его левую часть (слож­ную) до того про­сто­го вида, ко­то­рый от нас тре­бу­ет­ся. Для этого вы­пол­ним все дей­ствия с дро­бя­ми в чис­ли­те­ле и зна­ме­на­те­ле, а затем раз­де­лим дроби и упро­стим ре­зуль­тат.

. До­ка­за­но при всех до­пу­сти­мых зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной.

До­ка­за­но.

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/8-klass/algebraicheskie-drobi-arifmeticheskie-operacii-nad-algebraicheskimi-drobyami/preobrazovanie-ratsionalnyh-vyrazheniy?konspekt&chapter_id=13

Источник видео: http://www..com/watch?v=Mtxotj-mhiQ

Источник: https://www.kursoteka.ru/course/3412/lesson/11570

Алгебра – 8 класс. Рациональные выражения

Понятие «рациональное выражение» схоже с понятием «рациональная дробь». Выражение также представляется в виде дроби. Только в числители у нас – не числа, а различного рода выражения. Чаще всего этого многочлены. Алгебраическая дробь – дробное выражение, состоящее из чисел и переменных.

При решении многих задач в младших классах после выполнения арифметических операций мы получали конкретные числовые значения, чаще всего дроби. Теперь после выполнения операций мы будем получать алгебраические дроби.

Ребята, помните: чтобы получить правильный ответ, необходимо максимально упростить выражение, с которым вы работаете. Надо получить самую маленькую степень, какую возможно; одинаковые выражения в числители и знаменатели стоит сократить; с выражениями, которые можно свернуть, надо так и поступить.

То есть после выполнения ряда действий мы должны получить максимально простую алгебраическую дробь.

Порядок действий с рациональными выражениями

Порядок действий при выполнении операций с рациональными выражениями такой же, как и при арифметических операциях. Сначала выполняются действия в скобках, потом – умножение и деление, возведение в степень и наконец – сложение и вычитание.Доказать тождество – это значит показать, что при всех значениях переменных правая и левая части равны.

Примеров с доказательством тождеств очень много. К основным способам решения тождеств относятся.

• Преобразование левой части до равенства с правой.
• Преобразование правой части до равенства с левой.
• Преобразование левой и правой части по отдельности, до тех пор пока не получится одинаковое выражение.
• Из левой части вычитают правую, и в итоге должен получиться нуль.

Преобразование рациональных выражений. Примеры решения задач

Пример 1. Докажите тождество:

$(\frac{a+5}{5a-1}+\frac{a+5}{a+1}):{\frac{a2+5a}{1-5a}}+\frac{a2+5}{a+1}=a-1$.

Решение. Очевидно, нам надо преобразовать левую часть.Сначала выполним действия в скобках:

1) $\frac{a+5}{5a-1}+\frac{a+5}{a+1}=\frac{(a+5)(a+1)+(a+5)(5a-1)}{(a+1)(5a-1)}=$
$=\frac{(a+5)(a+1+5a-1)}{(a+1)(5a-1)}=\frac{(a+5)(6a)}{(a+1)(5a-1)}$

.Выносить общие множители надо стараться по максимуму.2) Преобразуем выражение, на которое делим:

$\frac{a2+5a}{1-5a}=\frac{a(a+5)}{(1-5a}=\frac{a(a+5)}{-(5a-1)}$

.3) Выполним операцию деления:

$\frac{(a+5)(6a)}{(a+1)(5a-1)}:\frac{a(a+5)}{-(5a-1)}=\frac{(a+5)(6a)}{(a+1)(5a-1)}*\frac{-(5a-1)}{a(a+5)}=\frac{-6}{a+1}$.

4) Выполним операцию сложения:

$\frac{-6}{a+1}+\frac{a2+5}{a+1}=\frac{a2-1}{a+1}=\frac{(a-1)(a+1)}{a+})=a-1$.

Правая и левая части совпали. Значит, тождество доказано.Ребята, при решении данного примера нам понадобилось знание многих формул и операций. Мы видим, что после преобразования большое выражение превратилось совсем в маленькое. При решении почти всех задач, обычно преобразования приводят к простым выражениям.

Пример 2.

Упростите выражение:

$(\frac{a2}{a+b}-\frac{a3}{a2+2ab+b2}):(\frac{a}{a+b}-\frac{a2}{a2-b2})$.

Решение. Начнем с первых скобок.

1. $\frac{a2}{a+b}-\frac{a3}{a2+2ab+b2}=\frac{a2}{a+b}-\frac{a3}{(a+b)2}=\frac{a2(a+b)-a3}{(a+b)2}=$
$=\frac{a3+a2 b-a3}{(a+b)2}=\frac{a2b}{(a+b)2}$.

2. Преобразуем вторые скобки.

$\frac{a}{a+b}-\frac{a2}{a2-b2}=\frac{a}{a+b}-\frac{a2}{(a-b)(a+b)}=\frac{a(a-b)-a2}{(a-b)(a+b)}=$
$=\frac{a2-ab-a2}{(a-b)(a+b)}=\frac{-ab}{(a-b)(a+b)}$.

3. Выполним деление.

$\frac{a2b}{(a+b)2}:\frac{-ab}{(a-b)(a+b)}=\frac{a2b}{(a+b)2}*\frac{(a-b)(a+b)}{(-ab)}=$
$=-\frac{a(a-b)}{a+b}$

.Ответ: $-\frac{a(a-b)}{a+b}$.

Пример 3.

Выполните действия:

$\frac{k-4}{k-2}:(\frac{80k}{(k3-8}+\frac{2k}{k2+2k+4}-\frac{k-16}{2-k})-\frac{6k+4}{(4-k)2}$.

Решение. Как всегда надо начинать со скобок.

1. $\frac{80k}{k3-8}+\frac{2k}{k2+2k+4}-\frac{k-16}{2-k}=\frac{80k}{(k-2)(k2+2k+4)} +\frac{2k}{k2+2k+4}+\frac{k-16}{k-2}=$

$=\frac{80k+2k(k-2)+(k-16)(k2+2k+4)}{(k-2)(k2+2k+4)}=\frac{80k+2k2-4k+k3+2k2+4k-16k2-32k-64}{(k-2)(k2+2k+4)}=$

$=\frac{k3-12k2+48k-64}{(k-2)(k2+2k+4)}=\frac{(k-4)3}{(k-2)(k2+2k+4)}$.

2. Теперь выполним деление.

$\frac{k-4}{k-2}:\frac{(k-4)3}{(k-2)(k2+2k+4)}=\frac{k-4}{k-2}*\frac{(k-2)(k2+2k+4)}{(k-4)3}=\frac{(k2+2k+4)}{(k-4)2}$.

3. Воспользуемся свойством: $(4-k)2=(k-4)2$.

4. Выполним операцию вычитания.

$\frac{(k2+2k+4)}{(k-4)2}-\frac{6k+4}{(k-4)2}=\frac{k2-4k}{(k-4)2}=\frac{k(k-4)}{(k-4)2}=\frac{k}{k-4}$.

Как мы раньше говорили, упрощать дробь надо максимально.Ответ: $\frac{k}{k-4}$.

Задачи для самостоятельного решения

1. Докажите тождество:

$\frac{b2-14}{b-4}-(\frac{3-b}{7b-4}+\frac{b-3}{b-4})*\frac{4-7b}{9b-3b2}=b+4$.

2. Упростите выражение:

$\frac{4(z+4)2}{z-2}*(\frac{z}{2z-4}-\frac{z2+4}{2z2-8}-\frac{2}{z2+2z})$.

3. Выполните действия:

$(\frac{a-b}{a2+2ab+b2}-\frac{2a}{(a-b)(a+b)}+\frac{a-b}{(a-b)2})*\frac{a4-b4}{8ab2}+\frac{2b2}{a2-b2}$.

:  3 / 5

Источник: https://mathematics-tests.com/uroki-8-klass-obzor/8-klass-preobrazovanie-razionalnix-virageniy