Алгебра 10 класс Формулы приведения

Все тригонометрические формулы

Тригонометрия, тригонометрические формулы

Основные формулы тригонометрии

Соотношения между основными тригонометрическими функциями – синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом — задаются тригонометрическими формулами.

А так как связей между тригонометрическими функциями достаточно много, то этим объясняется и обилие тригонометрических формул.

Одни формулы связывают тригонометрические функции одинакового угла, другие – функции кратного угла, третьи – позволяют понизить степень, четвертые – выразить все функции через тангенс половинного угла, и т.д.

В этой статье мы по порядку перечислим все основные тригонометрические формулы, которых достаточно для решения подавляющего большинства задач тригонометрии. Для удобства запоминания и использования будем группировать их по назначению, и заносить в таблицы.

Основные тригонометрические тождества

Основные тригонометрические тождества задают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Они вытекают из определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также понятия единичной окружности. Они позволяют выразить одну тригонометрическую функцию через любую другую.

Подробное описание этих формул тригонометрии, их вывод и примеры применения смотрите в статье основные тригонометрические тождества.

К началу страницы

Формулы приведения

Формулы приведения следуют из свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса, то есть, они отражают свойство периодичности тригонометрических функций, свойство симметричности, а также свойство сдвига на данный угол. Эти тригонометрические формулы позволяют от работы с произвольными углами переходить к работе с углами в пределах от нуля до 90 градусов.

Обоснование этих формул, мнемоническое правило для их запоминания и примеры их применения можно изучить в статье формулы приведения.

К началу страницы

Формулы сложения

Тригонометрические формулы сложения показывают, как тригонометрические функции суммы или разности двух углов выражаются через тригонометрические функции этих углов. Эти формулы служат базой для вывода следующих ниже тригонометрических формул.

Более подробная информация содержится в статье формулы сложения.

К началу страницы

Формулы двойного, тройного и т.д. угла

Формулы двойного, тройного и т.д. угла (их еще называют формулами кратного угла) показывают, как тригонометрические функции двойных, тройных и т.д. углов () выражаются через тригонометрические функции одинарного угла . Их вывод базируется на формулах сложения.

Более детальная информация собрана в статье формулы двойного, тройного и т.д. угла.

К началу страницы

Формулы половинного угла

Формулы половинного угла показывают, как тригонометрические функции половинного угла выражаются через косинус целого угла . Эти тригонометрические формулы следуют из формул двойного угла.

Их вывод и примеры применения можно посмотреть в статье формулы половинного угла.

К началу страницы

Формулы понижения степени

Тригонометрические формулы понижения степени призваны содействовать переходу от натуральных степеней тригонометрических функций к синусам и косинусам в первой степени, но кратных углов. Иными словами, они позволяют понижать степени тригонометрических функций до первой.

Для дальнейшего их изучения рекомендуем перейти к статье формулы понижения степени.

К началу страницы

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

Основное предназначение формул суммы и разности тригонометрических функций заключается в переходе к произведению функций, что очень полезно при упрощении тригонометрических выражений. Указанные формулы также широко используются при решении тригонометрических уравнений, так как позволяют раскладывать на множители сумму и разность синусов и косинусов.

Вывод формул, а также примеры их применения смотрите в статье формулы суммы и разности синуса и косинуса.

К началу страницы

Формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус

Переход от произведения тригонометрических функций к сумме или разности осуществляется посредством формул произведения синусов, косинусов и синуса на косинус.

К началу страницы

Универсальная тригонометрическая подстановка

Обзор основных формул тригонометрии завершаем формулами, выражающими тригонометрические функции через тангенс половинного угла. Такая замена получила название универсальной тригонометрической подстановки. Ее удобство заключается в том, что все тригонометрические функции выражаются через тангенс половинного угла рационально без корней.

Для более полной информации смотрите статью универсальная тригонометрическая подстановка.

Профиль автора статьи в

К началу страницы

• Алгебра:

Источник: https://laservirta.ru/%D0%B2%D1%81%D0%B5-%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5-%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D1%8B/

10 класс. Алгебра. Тригонометрические функции. Формулы приведения. — Формулы приведения

Фор­му­лы при­ве­де­ния пред­на­зна­че­ны для того, чтобы при­ве­сти три­го­но­мет­ри­че­скую функ­цию про­из­воль­но­го угла  к три­го­но­мет­ри­че­ской функ­ции наи­мень­ше­го из углов.

 2. Суть формул приведения

Рас­смот­рим кон­крет­ный при­мер. Рас­смот­рим дуги в  и, со­от­вет­ствен­но, (рис. 1).

 как пря­мо­уголь­ные по ги­по­те­ну­зе и остро­му углу 

Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет ра­вен­ство со­от­вет­ству­ю­щих сто­рон.

Функ­ции боль­ше­го угла при­ве­де­ны к функ­ци­ям мень­ше­го угла. В этом суть фор­мул при­ве­де­ния.

Для при­ме­не­ния фор­мул при­ве­де­ния три­го­но­мет­ри­че­скую функ­цию лю­бо­го угла нужно при­ве­сти к од­но­му из видов: .

 3. Два правила формул приведения, примеры

Фор­мул при­ве­де­ния много, но все они под­чи­ня­ют­ся двум пра­ви­лам:

Пер­вое пра­ви­ло:

Для ар­гу­мен­тов  функ­ция ме­ня­ет­ся на ко­функ­цию, т.е. синус на ко­си­нус и на­о­бо­рот, тан­генс на ко­тан­генс и на­о­бо­рот.

Для ар­гу­мен­тов  функ­ция не ме­ня­ет­ся.

При­ме­ры на пер­вое пра­ви­ло:

Знак пока не учи­ты­ва­ем, он опре­де­ля­ет­ся вто­рым пра­ви­лом, пока важно по­нять, в каких слу­ча­ях функ­ция ме­ня­ет­ся на ко­функ­цию, а в каких не ме­ня­ет­ся.

1) 

2) 

3) 

4) 

Для ар­гу­мен­тов вида на­име­но­ва­ние функ­ции сле­ду­ет из­ме­нить на ко­функ­цию.

5) 

6) 

7) 

8) 

Для ар­гу­мен­тов вида на­име­но­ва­ние функ­ции не ме­ня­ет­ся.

Вто­рое пра­ви­ло (для знака при­ве­ден­ной функ­ции, функ­ции угла ).

1) Счи­та­ем угол  ост­рым, 

2) Опре­де­ля­ем чет­верть и знак в ней при­во­ди­мой функ­ции (функ­ции слева).

3) Ста­вим этот знак перед при­ве­ден­ной к углу  функ­ци­ей (функ­ци­ей спра­ва).

При­ме­ча­ние: Угол  может быть любым, ост­рым мы его счи­та­ем услов­но, для при­ме­не­ния пра­ви­ла.

При­ме­ры на вто­рое пра­ви­ло:

1)  

Рис. 2.

Угол  на­хо­дит­ся во вто­рой чет­вер­ти. Во вто­рой чет­вер­ти , ста­вим знак плюс.

2) 

Рис

Угол  на­хо­дит­ся в тре­тьей чет­вер­ти. В тре­тьей чет­вер­ти  ста­вим знак минус.

3) 

Рис. 4.

Угол  на­хо­дит­ся во вто­рой чет­вер­ти. Во вто­рой чет­вер­ти  ста­вим знак минус.

4) 

Рис. 5.

Угол  на­хо­дит­ся в чет­вёр­той чет­вер­ти. В чет­вёр­той чет­вер­ти  ста­вим знак минус.

5) 

Рис. 6.

Угол  на­хо­дит­ся в тре­тьей чет­вер­ти. В тре­тьей чет­вер­ти  ста­вим знак минус.

6) 

Рис. 7.

Угол  на­хо­дит­ся во вто­рой чет­вер­ти, во вто­рой чет­вер­ти  ста­вим знак минус.

7) 

Рис. 8.

Угол  на­хо­дит­ся во вто­рой чет­вер­ти. Во вто­рой чет­вер­ти  ста­вим знак минус.

8) 

Рис. 9.

Угол  на­хо­дит­ся в чет­вёр­той чет­вер­ти. В чет­вёр­той чет­вер­ти  ста­вим знак минус.

Итак, мы рас­смот­ре­ли раз­лич­ные при­ме­ры при­ме­не­ния пер­во­го и вто­ро­го пра­вил фор­мул при­ве­де­ния.

 4. Приемы, облегчающие запоминание формул приведени

Рас­смот­рим при­е­мы, об­лег­ча­ю­щие за­по­ми­на­ние фор­мул при­ве­де­ния.

1. «Пра­ви­ло ло­ша­ди». Глядя на чис­ло­вую окруж­ность легко от­ве­тить на во­прос, ме­ня­ет­ся ли функ­ция на ко­функ­цию.

Для ар­гу­мен­тов , т.е. ар­гу­мен­тов, от­ло­жен­ных от вер­ти­каль­ной оси, на во­прос, ме­ня­ет­ся ли функ­ция  на ко­функ­цию, ло­шадь, глядя на точки , будет утвер­ди­тель­но ки­вать – функ­ция ме­ня­ет­ся на ко­функ­цию (рис. 10)  .

Для ар­гу­мен­тов  , т.е. ар­гу­мен­тов, от­ло­жен­ных от го­ри­зон­таль­ной оси, ло­шадь, глядя на точки  будет от­ри­ца­тель­но мо­тать го­ло­вой – функ­ция не ме­ня­ет­ся (рис. 10)  .

2. Ис­поль­зу­ем пе­ри­о­дич­ность и чет­ность.

Вспом­ним, что наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный пе­ри­од у тан­ген­са и ко­тан­ген­са равен  Это зна­чит, что

На­при­мер, 

У си­ну­са и ко­си­ну­са наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный пе­ри­од равен 

На­при­мер,

 5. Задачи

Рас­смот­рим при­ме­ры на ис­поль­зо­ва­ние фор­мул при­ве­де­ния.

1) Вы­чис­лить зна­че­ния всех три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций для 

Ре­ше­ние (рис. 11).

Угол  на­хо­дит­ся во вто­рой чет­вер­ти, синус в этой чет­вер­ти по­ло­жи­те­лен, ко­си­нус, тан­генс и ко­тан­генс от­ри­ца­тель­ны.

2) Вы­чис­лить зна­че­ния всех три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций угла 

Ре­ше­ние (рис. 12).

Угол  на­хо­дит­ся в тре­тьей чет­вер­ти, в тре­тьей чет­вер­ти синус и ко­си­нус от­ри­ца­тель­ны, тан­генс и ко­тан­генс по­ло­жи­тель­ны.

 6. Вывод, заключение

Мы рас­смот­ре­ли фор­му­лы при­ве­де­ния и по­яс­ни­ли их на кон­крет­ных при­ме­рах. В даль­ней­шем мы будем ак­тив­но ис­поль­зо­вать фор­му­лы при­ве­де­ния для пре­об­ра­зо­ва­ния три­го­но­мет­ри­че­ских вы­ра­же­ний.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/formuly-privedeniya

http://www..com/watch?v=n89ZZG_-5Rk

http://www..com/watch?v=hIdkqqv8Qx4

http://11book.ru/images/shcoolbook_ru/10/10_a_mord_baz.pdf

http://lasse.org/10-klass/reshebniki/algebra/ag-mordkovich-2009-zadachnik

http://mathematics-tests.com/matematika/10-klass/algebra-10-klass-formuly-privedeniya.pdf

http://mathematics-tests.com/matematika/10-klass/algebra-10-klass-formuly-privedeniya.pptx

Источник: https://www.kursoteka.ru/course/2848/lesson/9238