Задачи для подготовки к олимпиаде по математике (8 класс) .

Олимпиада по математике 8 класс, задания, уравнения, задачи с ответами

Математика — это та наука, которую можно изучить, только прилагая все возможные усилия. Изучая курс математики в 8 классе, школьники знакомятся с такими интересными разделами, как решение квадратных уравнений и составление таких уравнений для решения задач, решение дробных рациональных уравнений и мн. др.

Углубить и систематизировать знания, полученные на уроках, ученики могут только решая практические задания, выполняя самостоятельные и контрольные работы и участвуя в олимпиадах по математике.

На сайте подготовлены олимпиадные задания по математике с ответами и решениями. При подготовке к олимпиаде можно использовать примеры уравнений, задач и математических загадок, представленных на этой странице.

1. Решите уравнение: 2x²+5x-3=0.

2. Решите уравнение: 4x²+21x+5=0.

3. Найдите все корни уравнения: 3x²-10x+3=0.

4. Решите уравнение: 5x²-14x-3=0.

5.Найдите все корни уравнения: 71x²+144x+4=0

6. Решите уравнение: 9x²-30x+25=0

7.Найдите все корни уравнения: 2x²+9x+7=0

8. Решите уравнение: 5x²-26x=0

9. Решите уравнение: 64x+4x²=0

10. Решите уравнение: 9x²-4=0

Задачи

Задача №1
Работник заключил контракт на месяц на следующих условиях. За каждый отработанный день он получает 100 рублей. Если же он прогуливает, то не только ничего не получает, но подвергается штрафу в размере 25 рублей за каждый день прогула. Через 30 дней выяснилось, что работник ничего не заработал. Сколько дней он действительно работал?

Задача №2
Доктор Айболит раздал четырем заболевшим зверям 2006 чудодейственных таблеток. Носорог получил на одну больше, чем крокодил, бегемот – на одну больше, чем носорог, а слон – на одну больше, чем бегемот. Сколько таблеток придется съесть слону?

Задача №3
Три друга сделали по одному заявлению про целое число х. Петя: «Число х больше 4, но меньше 8». Вася: «Число х больше 6, но меньше 9».

Толя: «Число х больше 5, но меньше 8». Найдите число х, если известно, что двое из друзей сказали правду, а третий солгал.

Нужно не только проверить, что найденное число годится, но и объяснить, почему другие варианты ответа невозможны.

Задача №4
В озере водятся караси, окуни и щуки. Два рыбака поймали вместе 70 рыб, причем улова первого рыбака – караси, а улова второго – окуни. Сколько щук поймал каждый, если оба поймали поровну карасей и окуней?

Задача №5
Трое мужчин пришли к парикмахеру. Побрив первого, тот сказал: «Посмотри сколько денег в ящике стола, положи столько же и возьми 2 доллара сдачи». Тоже он сказал второму и третьему. Когда они ушли, оказалось, что в ящике денег нет. Сколько было денег в ящике первоначально, если всем удалось совершить задуманное?

Математические загадки

Загадка №1

На центральном телеграфе стоят разменные автоматы, которые меняют 20,коп. на 15, 2, 2 и 1; 15,коп. на 10, 2, 2 и 1; 10,коп. на 3, 3, 2 и 2. Петя разменял 1,руб. 25,коп. серебром на медь. Вася, посмотрев на результат, сказал: «Я точно знаю, какие у тебя были монеты» и назвал их. Назовите и вы.

Загадка №2

Сколько двоек будет в разложении на простые множители числа 1984!,? (Примечание: 1984! = 1 • 2 • 3 • … • 1984).

Загадка №3

Все натуральные числа поделены на хорошие и плохие. Известно, что если число A хорошее, то и число A + 6 тоже хорошее, а если число B плохое, то и число B + 15 тоже плохое. Может ли среди первых 2000 чисел быть ровно 1000 хороших?

Загадка №4

Какое наибольшее число пешек можно поставить на шахматную доску (не более одной пешки на каждое поле), если: 1) на поле e4 пешку ставить нельзя; 2) никакие две пешки не могут стоять на полях, симметричных, относительно поля e4?

Загадка №5

Сосуд имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Как, не делая никаких измерений и не имея других емкостей, наполнить водой ровно половину объема этого сосуда?

Ответы к уравнениям

Уравнение	№ 1	№ 2	№ 3	№ 4	№ 5
Ответ	-3;½	-5;-¼	⅓; 3	-⅕; 3	-2; — 2/71

Уравнение	№ 6	№ 7	№ 8	№ 9	№ 10
Ответ	1⅔	-1; -3,5	0; 5,2	-16; 0	-⅔; ⅔

Ответы к задачам

Задача 1Так сумма штрафа за прогул рабочего дня в четыре раза меньше заработка в день, то мы получим в итоге ноль, если на каждый день, в течение которого работник трудился, будет приходиться четыре прогула. Пусть он работал х дней, тогда прогуливал 4х. Тогда 5х=30, т.е. х=6.

Ответ: 6 дней.

Задача 2
(2006 – (1+2+3)):4=500 таблеток получил крокодил. Значит, слону придётся съесть 503 таблетки.

Ответ: 503 таблетки.

Задача 3
Ясно, что число х должно быть больше 4, но меньше 9, иначе все солгали. Поэтому для числа х есть всего четыре возможности: 5, 6, 7, 8. Если х=5, то правду сказал только Петя. Если х=8, то правду сказал только Вася. Если х=7, то правду сказали все трое. И только при х=6 правду скажут двое: Петя и Толя. Ответ: 6

Задача 4Первый поймал число рыб кратное 9, а второй кратное 17. Но можно подобрать только два числа, дающих в сумме 70, так, чтобы одно делилось на 9, а второе – на 17. Эти числа: 36 и 34. Значит, первый поймал 36 рыб, а второй – 34. Тогда из условия следует, что оба поймали по 20 карасей и 14 окуней. Значит, первый поймал еще 2 щуки, а второй – 0.

Ответ: Первый – 2, второй – 0.

Задача 5
После того, как третий положил свои деньги, в столе оказалось 2 доллара. Это означает, что перед тем, как он это сделал, в столе был 1 доллар. Значит, после того, как второй положил деньги, в столе было 3 доллара, а перед тем, как он это сделал, в столе было 1,5 доллара. Рассуждая аналогично для первого, получаем, что перед приходом первого в столе был (1,5+2):2=1,75 долларов.

Ответ: 175 центов

Ответы на загадки

Загадка 1

Так как две пятнадцатикопеечные монеты размениваются на ту же комбинацию, что и набор из одной десятикопеечной и одной двадцатикопеечной монеты, то в исходном наборе у Пети не могло быть ни более одной пятнадцатикопеечной монеты, ни одновременно десятикопеечной и двадцатикопеечной монеты (в противном случае Вася не смог бы определить однозначно исходный набор серебра по образовавшейся меди).

Поскольку из монет 10,коп. и 20,коп. невозможно получить 1,руб. 25,коп., значит можно утверждать, что у Пети была пятнадцатикопеечная монета. Остальные монеты в сумме 1,руб. 10,коп. должны были быть одинаковыми, следовательно, десятикопеечными.

Загадка 2
Среди чисел от 1 до 1984 существует 992 четных. Каждое из них дает по крайней мере одну двойку в разложение на простые множители числа 1984!,. Две двойки в это разложение дадут числа, делящиеся на 4 (их всего 496).

Далее, по 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10 двоек соответственно дадут 248, 124, 62, 31, 15, 7, 3 и 1 чисел делящихся на 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 и 1024 соответственно.

Сложив полученные числа, мы и получим искомую степень: 992 + 496 + 248 + 124 + 62 + 31 + 15 + 7 + 3 + 1 = 1979.

Загадка 3

Докажем, что числа C и C + 3 являются одновременно либо хорошими, либо плохими при любом значении C. Предположим для этого, что число C — хорошее, а C + 3 — плохое. Тогда с одной стороны, число C + 18 = (C + 3) + 15 должно быть хорошим, а с другой стороны, это же число C + 18 = ((C + 6) + 6) + 6 должно быть плохим.

Если же предположить, что число C — плохое, а C + 3 — хорошее, то число C + 15 = ((C + 3) + 6) + 6 должно быть одновременно и плохим и хорошим. Полученное в обоих случаях противоречие доказывает, что числа C и C + 3 всегда принадлежат одному классу. Из этого следует, что любой класс вычетов по модулю 3 (см.

Т5) является либо целиком хорошим, либо целиком плохим.

Среди первых 2000 чисел каждый такой класс содержит 666 или 667 чисел. Любой класс содержит меньше 1000 чисел, а любые два класса — больше 1000 чисел. Поэтому ровно 1000 хороших чисел быть не может.

Загадка 4
Все поля доски кроме вертикали a, горизонтали 8 и самого поля e4 можно разбить на пары, симметричные относительно e4. Таких пар образуется 24. По условию, на поля каждой пары можно поставить не более одной пешки.

Кроме того, можно поставить не более, чем по одной пешке на поля вертикали a и горизонтали 8. Таких полей 15. На поле e4, по условию, пешки ставить нельзя. Значит, всего можно поставить не более 39 пешек.

Пример расстановки 39 пешек показан на рис. 11.

Загадка 5
Нужно наклонить параллелепипед так, чтобы уровень воды находился по диагональному сечению параллелепипеда.

26/02/2015 , автор: Валерия Токарева

Источник: http://ruolimpiada.ru/olimpiada-po-matematike-8-klass-zadani/

Математика 8 класс, муниципальный этап (2 этап), г. Москва, 2016 год

Задачи для подготовки к олимпиаде по математике (8 класс) .

Последняя цифра в записи натурального числа в 2016 раз меньше самого числа. Найдите все такие числа.

Ответ: 4032, 8064, 12096, 16128.

Решение.

Пусть x – последняя цифра числа. Далее можно рассуждать по-разному.

Первый способ. Число 2016x должно оканчиваться на цифру х. Следовательно, x – четная цифра, причем x ≠ 0. Проверкой убеждаемся, что значения x, равные 2, 4, 6 и 8 удовлетворяют условию.

Можно также провести полный перебор всех возможных значений x: проверить все цифры от 0 до 9.

Второй способ. Пусть искомые числа имеют вид ax = 10a ≠x, где a – некоторое натуральное число.

Тогда x a  10a+x = 2016x ⇔ 2a = 403x. Так как 2 и 403 взаимно простые числа, то a делится на 403, а x делится на 2. Подставляя, например, в полученное равенство значения x, равные 2, 4, 6 и 8, находим соответствующие значения a и получаем ответ.

Критерии проверки

“+” – приведено полное обоснованное решение (любым из способов, независимо от его рациональности)
“±” – приведен только полностью верный ответ
“ ” – приведено верное рассуждение, но в ответе пропущено какое-то одно из чисел
“–” – в ответе верно приведено не более двух чисел
“–” – задача не решена или решена неверно

Задание 2

Расставьте в левой части равенства

Равенство для задания 2

знаки арифметических операций и скобки так, чтобы равенство стало верным для всех а, отличных от нуля.

Ответ: например, так:

Ответ для задания 2

Существуют и другие примеры.

Задание 3

Точки пересечения графиков четырех функций, заданных формулами y = kx + b, y = kx – b, y = mx + b и y = mx – b, являются вершинами четырехугольника. Найдите координаты точки пересечения его диагоналей.

Ответ: (0; 0).

Решение

Графики данных линейных функций – это две пары параллельных прямых, так как равны угловые коэффициенты у первой и второй прямой и угловые коэффициенты у третьей и четвертой прямой.

Значит, точки пересечения графиков являются вершинами параллелограмма. Две противоположные вершины этого параллелограмма – это М(0; b) и N(0; –b). Так как диагонали параллелограмма, пересекаясь, делятся точкой пересечения пополам, то искомая точка – середина отрезка MN, то есть точка (0; 0).

Задание 4

В классе учатся 30 человек: отличники, троечники и двоечники. Отличники на все вопросы отвечают правильно, двоечники всегда ошибаются, а троечники на заданные им вопросы строго по очереди то отвечают верно, то ошибаются. Всем ученикам было задано по три вопроса: “Ты отличник?”, “Ты троечник?”,

“Ты двоечник?”. Ответили “Да” на первый вопрос – 19 учащихся, на второй – 12, на третий – 9. Сколько троечников учится в этом классе?

Ответ: 20 троечников

Решение.

Пусть a – количество отличников, b – количество двоечников, c – количество троечников, которые ошиблись в ответе на первый вопрос, правильно ответили на второй и ошиблись в ответе на третий (назовем таких троечников троечниками первого типа), а d – количество троечников, которые правильно ответили на первый вопрос, ошиблись в ответе на второй и правильно ответили на третий (назовем таких троечников троечниками второго типа).

На первый вопрос ответили “Да” отличники, двоечники и троечники первого типа, следовательно, a + b + c = 19. На второй вопрос “Да” ответили двоечники и троечники первого типа, то есть b + c = 12.

На третий вопрос “Да” ответили только троечники первого типа, то есть c = 9. Тогда из второго уравнения получим, что b = 3, а из первого уравнения: a = 7.

В классе – 30 учащихся, значит d = 30 – 19 = 11, поэтому всего троечников: 9 + 11 = 20.

Задание 5

В прямоугольнике ABCD на диагонали AC отмечена точка K так, что CK = BC. На стороне ВС отмечена точка М так, что КМ = СМ. Докажите, что АK + ВМ = СМ.

Задание 6

Какое наибольшее количество натуральных чисел, не превосходящих 2016, можно отметить так, чтобы произведение любых двух отмеченных чисел было бы точным квадратом?

Ответ: 44.

Материалы по математике: подготовка к олимпиадам и ЕГЭ

Задачи для подготовки к олимпиаде по математике (8 класс) .

Подготовка к математическим олимпиадам ведётся по специальным листкам. Листок — это небольшой задачник, посвящённый определённой теме. Помимо задач он может содержать и необходимую теорию.

Отличительная особенность данных листков — их нацеленность на подготовку к олимпиадам. Это в первую очередь Всеросс, ММО и Турнир городов, а также олимпиады «Ломоносов», «Покори Воробьёвы горы!», «Физтех», ОММО и «Высшая проба».

Листки содержат задачи самых последних олимпиад, постоянно пополняются новыми задачами и поэтому являются своеобразной следящей системой, автоматически настраивающейся на текущую олимпиадную ситуацию.

Кроме того, в листках много задач вступительных экзаменов в МГУ и МФТИ разных лет. Это не удивительно — ведь олимпиады «Покори Воробьёвы горы!», «Ломоносов» и «Физтех» являются прямыми наследницами прежних вступительных экзаменов.

Для подготовки учеников 7–8 классов к олимпиаде Эйлера и Московской математической олимпиаде написано пособие Олимпиадная математика. Задачник восьмиклассника.

Логические задачи
Рыцари и лжецы. Рассуждения
Рыцари и лжецы. Уравнения

Подготовка к олимпиадам: младшие школьники (5–7 классы)

Две основные олимпиады для младших школьников — это Математический праздник и Турнир Архимеда. Наряду с ними готовимся к олимпиадам «Ломоносов», «Покори Воробьёвы горы!», «Высшая проба», «Курчатов», а также к школьному и муниципальному этапам Всероссийской олимпиады школьников по математике.

Группировка листков по темам во многом следует тематическому каталогу problems.ru (как наиболее удачному с моей точки зрения). Листки содержат:

все задачи Матпраздника с момента его появления (то есть с 1990 года);
все задачи Городской устной математической олимпиады для 6–7 классов с момента её появления (с 2002 года);
все задачи Турнира Архимеда с 2011 года;
задачи последних олимпиад «Покори Воробьёвы горы!», «Ломоносов», «Высшая проба» «Курчатов» и «Физтех», а также школьных и муниципальных этапов Всероссийской олимпиады школьников.

На базе этих листков создано пособие Олимпиадная математика. Задачник 6–7.

Примеры и конструкции
Да или нет?

Алгоритмы и операции
Взвешивания
Переливания
Таблицы

Уравнения в целых числах
Вычисление сумм
Алгебраические преобразования

Степень вершины
Связные графы
Обход графов
Ориентированные графы

Игры и стратегии
Турниры
Шахматные доски и фигуры

Наглядная геометрия на плоскости
Наглядная геометрия в пространстве

Варианты математических олимпиад

Здесь содержатся варианты олимпиад по математике, используемые в повседневной работе. Ведь наилучший способ подготовиться к олимпиаде — это постоянно решать варианты последних лет.

Двузначное число в каждой ссылке означает год проведения финала олимпиады.

Всероссийская олимпиада школьников по математике

ШЭ МЭ РЭ ЗЭ

5 класс	19, 18, 17 16, 15, 14	15, 14	—	—
6 класс	19, 18, 17 16, 15, 14	15, 14	—	—
7 класс	19, 18, 17 16, 15, 14	19, 18, 17 16, 15, 14	—	—
8 класс	19, 18, 17 16, 15, 14	19, 18, 17 16, 15, 14	—	—
9 класс	19, 18, 17 16, 15, 14	19, 18, 17 16, 15, 14	19, 18, 17 16, 15, 14	18, 17 16, 15, 14
10 класс	19, 18, 17 16, 15, 14	19, 18, 17 16, 15, 14	19, 18, 17 16, 15, 14	18, 17, 16 15, 14, 13
11 класс	19, 18, 17 16, 15, 14	19, 18, 17 16, 15, 14	19, 18, 17 16, 15, 14	18, 17 16, 15, 14

Примечания.

Муниципальный этап для 5 и 6 классов начиная с 2015/16 года не проводится.
Региональный и заключительный этапы для 5–8 классов не предусмотрены. Вместо них проводится олимпиада им. Леонарда Эйлера (для восьмиклассников).

Олимпиада им. Леонарда Эйлера

Олимпиада им. Леонарда Эйлера («Всеросс в младшей лиге») проводится с 2008/09 года.

Регион	19, 18, 17, 16, 15 14, 13, 12, 11, 10, 09
Финал	19, 18, 17, 16, 15 14, 13, 12, 11, 10, 09

Московская математическая олимпиада

8 класс	18, 17, 16, 15, 14 13, 12, 11, 10, 09
9 класс	18, 17, 16, 15, 14 13, 12, 11, 10, 09
10 класс	18, 17, 16, 15, 14 13, 12, 11, 10, 09
11 класс	18, 17, 16, 15, 14 13, 12, 11, 10, 09

Турнир городов

ОБ ОС ВБ ВС

8–9 классы	17, 16, 15	17, 16, 15	17, 16, 15	17, 16, 15
10–11 классы	17, 16, 15	17, 16, 15	17, 16, 15	17, 16, 15

Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

5–6 классы	18.1a, 18.1b, 18.2a, 18.2b, 18.3a, 18.3b 17.1a, 17.1b, 17.2a, 17.2b, 17.3a, 17.3b 16.1a, 16.1b, 16.2a, 16.2b, 16.3a, 16.3b
7 класс	18.1a, 18.1b, 18.2a, 18.2b, 18.3a, 18.3b 17.1a, 17.1b, 17.2a, 17.2b, 17.3a 16.1a, 16.1b, 16.2a, 16.2b, 16.3a, 16.3b 15, 14, 13, 12
8 класс	18.1a, 18.1b, 18.2a, 18.2b, 18.3a, 18.3b 17.1a, 17.1b, 17.2a, 17.2b, 17.3a 16.1a, 16.1b, 16.2a, 16.2b, 16.3a, 16.3b 15, 14, 13, 12
9 класс	18.1a, 18.1b, 18.2a, 18.2b, 18.3a, 18.3b 17.1a, 17.1b, 17.2a, 17.2b, 17.3a 16.1a, 16.1b, 16.2a, 16.2b, 16.3a, 16.3b 15, 14, 13, 12
10–11 классы	18.1, 18.2, 18.3, 18.4, 18.5, 18.6 17.1, 17.2, 17.3, 17.4, 17.5 16.1, 16.2, 16.3, 16.4, 16.5, 16.6 15.1, 15.2, 15.3, 15.4, 15.5, 15.6 14.1, 14.2, 14.3, 14.4, 14.5, 14.6, 14.7 13.1, 13.2, 13.3, 13.4, 13.5, 13.7 12.1, 12.2, 12.3, 12.4, 12.5, 12.6, 12.7 11.1, 11.2, 11.3, 11.4 10.1, 10.2, 10.3, 10.4, 10.5

Олимпиада «Ломоносов»

5–6 классы	18, 17, 16
7 класс	18, 17, 16, 15 14, 13, 12, 11
8 класс	18, 17, 16, 15 14, 13, 12, 11
9 класс	18, 17, 16, 15 14, 13, 12, 11
10–11 классы	18, 17, 16, 15, 14, 13, 12 11, 10, 09, 08, 07, 06, 05

Олимпиада «Физтех»

Онлайн Финал

5 класс	18, 17, 16	—
6 класс	18, 17, 16	—
7 класс	18, 17 16, 15, 14	—
8 класс	18, 17, 16 15, 14, 13	—
9 класс	18, 17, 16, 15 14, 13, 12, 11	18.1, 18.2; 17.1, 17.2 16.1, 16.2, 16.3
10 класс	18, 17, 16, 15 14, 13, 12, 11	18.1, 18.2; 17.1, 17.2 16.1, 16.2, 16.3 15.1, 15.2, 15.3
11 класс	18, 17, 16, 15 14, 13, 12, 11	18.1, 18.2; 17.1, 17.2 16.1, 16.2, 16.3 15.1, 15.2, 15.3 14.1, 14.2; 13.1, 13.2 12.1, 12.2; 11.1, 11.2 10.1, 10.2; 09.1, 09.2; 08, 07

Примечания.

Очный финал для 5–8 классов пока не проводится.
В 2016/17 и 2017/18 годах на онлайн-этапе для 5 и 6 классов давалось задание 7 класса.
Очный финал для 10 класса впервые прошёл в 2015 году, а для 9 класса — в 2016 году.

Олимпиада «Высшая проба»

7 класс	18, 17 16, 15, 14
8 класс	18, 17 16, 15, 14, 13
9 класс	18, 17, 16, 15 14, 13, 12, 11
10 класс	18, 17, 16, 15 14, 13, 12, 11
11 класс	18, 17, 16, 15 14, 13, 12, 11

Олимпиада «Курчатов»

6 класс	18, 17, 16, 15
7 класс	18, 17, 16, 15, 14
8 класс	18, 17, 16, 15, 14
9 класс	18, 17, 16, 15, 14
10 класс	18, 17, 16, 15, 14
11 класс	18, 17, 16, 15, 14

ОММО — Объединённая межвузовская математическая олимпиада

9–10 классы	16, 15
11 класс	18, 17, 16, 15, 14 13, 12, 11, 10, 09

Математический праздник

6 класс	18, 17, 16, 15, 14, 13, 12, 11, 10 09, 08, 07, 06, 05, 04, 03, 02, 01, 00 99, 98, 97, 96, 95, 94, 93, 92, 91, 90
7 класс	18, 17, 16, 15, 14, 13, 12, 11, 10 09, 08, 07, 06, 05, 04, 03, 02, 01, 00 99, 98, 97, 96, 95, 94, 93, 92, 91, 90

Московская городская устная математическая олимпиада для 6–7 классов

6 класс	18, 17, 16, 15, 14, 13, 12, 11 10, 09, 08, 06, 05, 04, 03, 02
7 класс	18, 17, 16, 15, 14, 13, 12, 11 10, 09, 08, 06, 05, 04, 03, 02

Всесоюзная олимпиада школьников по математике

11 класс

92, 91, 89, 88, 87 86, 85, 84, 83

Задачи ЕГЭ по математике

В данном разделе приведены задачи ЕГЭ по математике (профильный уровень, сложная часть), а также диагностических и тренировочных работ МИОО начиная с 2009 года. Последнее пособие («Нестандартные задачи на ЕГЭ по математике») содержит авторские решения.

Базовый курс математики

Общий курс математики предназначен для школьников 8–11 классов. Чтение статей не требует предварительных знаний, так что изучение каждой темы можно начинать с нуля. Статьи, однако, рассчитаны на школьника, заинтересованного в глубоком изучении математики; с каждой статьёй нужно работать — вникать в идеи и самостоятельно воспроизводить выкладки.

Источник: http://mathus.ru/math/

Олимпиадные задачи по математике с решениями 8 класс | Помощь школьнику

Задачи для подготовки к олимпиаде по математике (8 класс) .

Один из внешних углов треугольника равен 112 градусов углы не смежные с данным внешним углом относятся как 1:6. найдите наибольший из них. пожалуйста чертёж. Попроси больше объяснений; Следить ? Отметить нарушение ? AIDA196 08.03.2017. Войти чтобы добавить .

Олимпиада по математике 8 класс

Олимпиада по математике (8 класс).

Составитель: Астахова Ирина Александровна, учитель математики ТОГБОУ кадетская школа-интернат «Многопрофильный кадетский корпус» (г. Тамбов)

Задание 1. Разложите на множители ab (a – b) – ac ( a + c ) + bc (2 a + c – b ).

Решение. Рассмотрим выражения a – b, a + c и 2 a + c – b, увидим, что 2 a + c – b = ( a – b ) + ( a + c ), поэтому последний член bc (2 a + c – b ) представим в виде суммы двух слагаемых:

Ab (a – b) – ac (a + c) + bc (a + c) + bc (a – b) = (a – b)(ab + bc) + (a + c)(bc – ac) = b (a – b)(a + c) + c (a + c)(b – a) = (a – b)(a + c)(b – c).

Задание 2. На каждую клетку шахматной доски положили по нескольку монет так, что суммы на каждых двух клетках, имеющих общую сторону, отличаются на рубль. Известно также, что одной из клеток лежит 3 рубля, а на другой – 17 рублей. Какую сумму образуют монеты, лежащие на обеих диагоналях?

Решение. Заметим, что условия задачи выполнимы лишь в том случае, если указанные суммы в 3 и 17 рублей лежат в противоположных углах шахматной доски. Тогда заполнение доски производится однозначно, а искомая сумма равна 160 рублям.

Задание 3. Печорин, Онегин и Чацкий – студенты университета. Каждый из них выбрал для изучения ровно три предмета из четырёх: биология, химия, история, математика. Для любителей логических задач каждый из студентов изрёк по четыре утверждения.

1) только на один предмет из четырёх пал выбор каждого из нас,

2) из нас только я выбрал математику,

3) никакие двое из нас не выбрали три одинаковых предмета,

4) Чацкий неправ, говоря, что Онегин и я выбрали химию.

1) только один из нас выбрал историю, это – Печорин,

2) Чацкий и я выбрали одни и те же предметы,

3) мы все трое выбрали биологию,

4) двое из нас выбрали химию и биологию.

1) мы все трое выбрали математику,

2) Онегин выбрал историю,

3) Печорин выбрал тот предмет, который я не выбрал,

4) Печорин и Онегин – оба выбрали химию.

Если верны два и только два утверждения из четырёх, сказанных каждым, то какие три предмета были выбраны каждым из этих студентов?

Решение. Всем условиям удовлетворяет единственно возможный вариант выбора предметов:

Печорин выбрал биологию, химию, историю;

Онегин – биологию, химию, математику;

Чацкий – биологию, математику, историю.

Таблица верных (+) и ложных (-) ответов такова:

Задание 3. На каждую клетку шахматной доски положили по нескольку монет так, что суммы на каждых двух клетках, имеющих общую сторону, отличаются на рубль. Известно также, что одной из клеток лежит 3 рубля, а на другой – 17 рублей. Какую сумму образуют монеты, лежащие на обеих диагоналях?

Задание 4. Существует ли такой выпуклый многоугольник, которого отношение суммы внутренних углов к сумме внешних (взятых по одному при каждой вершине) равно 15 : 4?

Решение. Сумма внутренних углов многоугольника 180º (n – 2), а сумма внешних углов 360º. Значит,

Откуда n=9,5. Число сторон не может быть дробным, значит, такой многоугольник не существует.

Задание 5. Основания трапеции равны 3 см и 2 см. Диагонали её равны 4 см и 3 см. Найдите площадь трапеции.

Решение. Пусть дана трапеция ABCD. Проведём ED ║ AC до пересечения с продолжением ВС в точке Е. В треугольнике BE D стороны равны 3 см, 4 см и 5 см, значит, угол BDE — прямой, поэтому и угол АО D — прямой, т. е. диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. S ABCD = 0,5 AC ∙ BD = 6(см 2 ).

Задание 6. Натуральные числа а, b и с таковы, что а b + b с = са. Докажите равенство НОД(а, b ) + НОД( b, с) = НОД(с, а). (Здесь НОД – наибольший общий делитель.)

Доказательство. Задача легко сводится к случаю, когда числа а, в и с не имеют общего делителя. В этом случае НОД(а, b ) = , НОД( b, с) = и НОД(а, с) = . Равенство + = справедливо, так как после умножения его на получим верное равенство ab + bc = ca.

Задание 7. Докажите, что число 1991 · 1993 · 1995 · 1997 + 16 является квадратом натурального числа.

Доказательство. Имеет место тождество

(n – 3)( n – 1)( n + 1)( n +3) + 16 = ( n 2 – 5) 2 .

Отсюда следует числовое равенство

1991 · 1993 · 1995 · 1997 + 16 = (1994 2 – 5) 2 .

Задание 8. Целые числа a, b c таковы, что ab + bc + ca = 0. Докажите, что число abc может быть представлено в виде произведения квадрата целого числа на куб целого числа.

Доказательство. Покажем, что если числа a, b, и c не имеют общего делителя, то число abc является полным квадратом.

Пусть p – простое число и с делится на p n, тогда из равенства ab = — c ( a + b ) следует, что одно из чисел a и b делится на p n, а второе не делится на p; значит, abc делится на p 2 n.

Аналогично рассуждая про делители чисел а и b, получаем, что любое простое число входит в произведение abc в четвёртой степени. Если у чисел a, b, c есть общий делитель, то он войдёт в произведение в кубе.

Задание 9. Из двух городов, расстояние между которыми 63 км, вышли одновременно два пешехода и встретились через 9 ч. Определите среднюю скорость каждого пешехода, зная, что, если бы первый шёл в 1,5 раза быстрее, а второй – в 2 раза быстрее, они встретились бы через 5 ч 15 мин.

Решение. 63 : 9 = 7 (км/ч) – скорость сближения пешеходов. Если скорость одного из них x км/ч, то скорость второго (7 – х) км/ч.

Если скорость первого увеличить в 1,5 раза, она станет равной 1,5х км/ч, а если скорость второго увеличить в 2 раза, то она станет равной 2(7 – х) км/ч, тогда мы получим скорость сближения 63 : 5,25 = 12 (км/ч), отсюда уравнение: 1,5х + 2(7 – х) = 12; значит, скорость одного 4 км/ч, а другого 3 км/ч.

Задание 10. Существует ли такое двузначное число, которое при делении на произведение его цифр даёт в частном 4 и в остатке 6?

Решение. Предположим, что такое число существует. Обозначив через x и y соответственно число его десятков и число единиц, получим для определения неизвестных уравнение

10 x + y = 4 xy + 6 (1)

Поскольку остаток меньше делителя.

Так как уравнение (1) равносильно уравнению

(4 x – 1)(5 – 2 y ) = 7 ∙ 1 (3)

И x – натуральное число, то 4 x – 1 > 1. Следовательно, из (3) с учётом того, что y — число целое, имеем: 4 x – 1 = 7 и 5 – 2 y = 1, т. е. x = 2, y = 2, но эта пара чисел не удовлетворяет неравенству (2).

Итак, не существует двузначное число, которое при делении на произведение его цифр даёт в частном 4 и в остатке 6.

4 балла – верное решение.

3 балла – решение в целом верное, но содержит некоторые неточности.

2 балла – решение в основных чертах верное, но неполное или содержит ошибки.

1 балл – решение в целом неверное, но содержит более или менее существенные продвижения в верном направлении.

0 баллов – решение неверное или отсутствует.

Описание разработки

Два совершенно одинаковых катера, имеющих одинаковую скорость в стоячей воде, проходят по двум различным рекам одинаковое расстояние (по течению) и возвращаются обратно (против течения). В какой реке на эту поездку потребуется больше времени: в реке с быстрым течением или в реке с медленным течением?

Пусть скорость катеров v км/ч, скорость течения в первой реке v1 км/ч, а скорость течения во второй реке v2 км/ч. Пусть v1>v2. Если обозначить расстояние, проходимое в одном направлении катерами, через S, то время, затраченное первым катером на весь путь, t1 = S/(v+v1) + S/(v-v1) = 2Sv/(v2-v12), а время, затраченное вторым катером, t2 = 2Sv/(v2-v22).

Поскольку числители у обоих выражений одинаковы, то большей будет дробь с меньшим знаменателем, а так как знаменатели есть разности с равными уменьшаемыми, то знаменатель меньше у первой дроби, у которой вычитаемое v12 больше.

Больше времени потребуется на поездку в реке с более быстрым течением.

Найти скорость и длину поезда, если известно, что он проходит мимо неподвижного наблюдателя в течение 7 с и затратил 25 с, чтобы проехать вдоль платформы длиной в 378 м.

Полную информацию смотрите в файле.

Содержимое разработки

Олимпиадные задания по математике 8 класс с решением.

Два совершенно одинаковых катера,

Имеющих одинаковую скорость в стоячей воде,

Проходят по двум различным рекам одинаковое расстояние

(по течению) и возвращаются обратно (против течения).

В какой реке на эту поездку потребуется больше времени:

В реке с быстрым течением или

В реке с медленным течением?

Пусть скорость катеров V км/ч,

Скорость течения в первой реке V1 км/ч,

А скорость течения во второй реке V2 км/ч.

Если обозначить расстояние, проходимое в одном направлении катерами, через S ,

То время, затраченное первым катером на весь путь,

То большей будет дробь с меньшим знаменателем,

А так как знаменатели есть разности с равными уменьшаемыми,

То знаменатель меньше у первой дроби,

Больше времени потребуется на поездку в реке с более быстрым течением.

Найти скорость и длину поезда,

Что он проходит мимо неподвижного наблюдателя в течение 7 с

Чтобы проехать вдоль платформы длиной в 378 м.

Пусть X (м) — длина поезда,

Для проезда мимо платформы поезду потребовалось 25 — 7 = 18 (с).

Следовательно, его скорость

Длина его 21 х 7 = 147 (м).

Но известно, что если бы он съел 2 тарелки меда, 3 тарелки сгущенки и 4 тарелки варенья или 4 тарелки меда, 2 тарелки сгущенки и 3 тарелки варенья, то спокойно смог бы покинуть нору гостеприимного Кролика.

От чего больше толстеют: от варенья или от сгущенки?

По условию же 3м + 4с + 2в 4м + 2с + 3в,

Складывая последнее неравенство с неравенством (*), получаем м + 3с м + 3в, откуда с в.

Известно, что каждое число в 3 раза меньше суммы всех чисел, записанных в клетках, соседних с ним по стороне, и в 2 раза меньше суммы всех чисел, записанных в клетках, соседних с ним по диагонали.

Докажите, что каждую клетку доски можно покрасить в красный или синий цвет так, что сумма всех чисел, записанных в красных клетках, равна сумме всех чисел, записанных в синих клетках.

Разобьем доску 50 х 50 на квадрат 48 х 48, квадрат 2 х 2 и два прямоугольника 2 х 48, как показано на рисунке. Квадрат 48 х 48 разобьем на квадраты 3 х 3, а прямоугольники 2 х 48 — на прямоугольники 3 х 2, примыкающие длинной стороной к краю доски. В каждом из этих квадратов и прямоугольников суммы чисел, стоящих в красных и синих клетках, равны. Значит, они равны и на всей доске.